Questão 31 – Inequação com f(x) ≥ 2f(1)
Questão 31. Sabendo que \( f(x) = x^2 – 3x + 8 \), determine o conjunto solução da inequação:
$$ f(x) \geq 2f(1) $$
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🔎 Etapa 1: Calcular \( f(1) \)
$$ f(1) = 1^2 – 3 \cdot 1 + 8 = 1 – 3 + 8 = 6 $$
Substituímos na inequação:
$$ f(x) \geq 12 $$
🔎 Etapa 2: Resolver \( f(x) = x^2 – 3x + 8 \geq 12 \)
$$ x^2 – 3x + 8 \geq 12 \Rightarrow x^2 – 3x – 4 \geq 0 $$
🔎 Etapa 3: Resolver a equação associada
$$ x^2 – 3x – 4 = 0 \Rightarrow \Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$
$$ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \Rightarrow x_1 = -1,\ x_2 = 4 $$
🔎 Etapa 4: Estudo do sinal
Parábola voltada para cima ⇒ \( f(x) \geq 12 \) fora das raízes
- Solução: \( x \leq -1 \) ou \( x \geq 4 \)
✅ Conclusão:
- Solução: \( x \in \mathbb{R} \ | \ x \leq -1 \text{ ou } x \geq 4 \)
