Questão 29. Resolva as seguintes inequações do 2º grau:
a) \( x^2 – 2x – 8 < 0 \)
b) \( 9x^2 – 8x – 1 \geq 0 \)
c) \( -3x^2 + 2x – 1 > 0 \)
d) \( -x^2 + 4x – 4 < 0 \)
a) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Resolver a equação:
$$ x^2 – 2x – 8 = 0 \Rightarrow \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \Rightarrow x_1 = -2,\ x_2 = 4 $$
2) Estudo do sinal:
Coeficiente de \( x^2 \) é positivo, então a parábola é voltada para cima.
- \( f(x) < 0 \) entre as raízes
✅ Conclusão:
- Solução: \( x \in (-2, 4) \)
b) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Resolver a equação:
$$ 9x^2 – 8x – 1 = 0 \Rightarrow \Delta = (-8)^2 – 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 $$
$$ x = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{18} = \frac{8 \pm 10}{18} \Rightarrow x_1 = -\frac{1}{9},\ x_2 = 1 $$
2) Estudo do sinal:
Parábola voltada para cima.
- \( f(x) \geq 0 \) fora das raízes
✅ Conclusão:
- Solução: \( x \leq -\frac{1}{9} \) ou \( x \geq 1 \)
c) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Calcular \( \Delta \):
$$ -3x^2 + 2x – 1 = 0 \Rightarrow \Delta = 2^2 – 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 4 – 12 = -8 $$
2) Como \( \Delta < 0 \), não há raízes reais.
Parábola voltada para baixo ⇒ sempre negativa.
Mas queremos \( f(x) > 0 \) ⇒ nunca ocorre.
✅ Conclusão:
- Solução: Conjunto vazio \( \varnothing \)
d) 🔍 Ver solução passo a passo
1) Resolver a equação:
$$ -x^2 + 4x – 4 = 0 \Rightarrow \Delta = 4^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-4) = 16 – 16 = 0 $$
Raiz dupla: \( x = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2 \)
2) Sinal da função:
Parábola para baixo, toca o eixo em \( x = 2 \)
Função negativa para todo \( x \neq 2 \)
✅ Conclusão:
- Solução: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \)
