Antes de estudar permutações, arranjos e combinações, é fundamental dominar a Introdução à Contagem, em especial o Princípio Fundamental da Contagem (PFC), a regra do produto e a regra da soma. Esses conceitos aparecem em questões de Matemática do ENEM , concursos públicos e também servem de base para problemas de Raciocínio Lógico .
Neste artigo, você vai ver:
- o que é o Princípio Fundamental da Contagem;
- como usar a regra do produto e a regra da soma na prática;
- exemplos resolvidos passo a passo;
- uma lista de exercícios para treinar.
Quer organizar tudo em um mapa mental?
Você pode revisar este conteúdo com apoio dos Mapas Mentais de Matemática e do nosso Curso Matemática Básica: Do Zero à Confiança Prática .
O que é Introdução à Contagem?
Em muitos problemas de Matemática, precisamos saber de quantas maneiras algo pode acontecer: quantas senhas podem ser formadas, quantos modos diferentes de montar um lanche, quantas formas de escolher uma comissão, etc. Essa ideia de contar possibilidades é o ponto de partida da Análise Combinatória.
A Introdução à Contagem foca na construção da intuição usando duas ferramentas principais:
- Regra do produto (ou Princípio Fundamental da Contagem);
- Regra da soma.
Se uma tarefa pode ser realizada em etapas independentes e: a primeira etapa pode ser feita de \(a\) maneiras, a segunda de \(b\) maneiras, a terceira de \(c\) maneiras e assim por diante, então o número total de maneiras de realizar a tarefa é \[ a \cdot b \cdot c \cdots \]
Se uma ação pode ser realizada de modo A ou de modo B, e esses modos
não podem acontecer ao mesmo tempo (são mutuamente exclusivos), então o número total de
maneiras de realizar a ação é a soma das quantidades de maneiras de cada modo.
Em símbolos: se o modo A tem \(m\) maneiras e o modo B tem \(n\) maneiras, então o total é \(m + n\).
Produto (multiplica) quando você faz escolhas em sequência (etapas).
Soma (adiciona) quando você tem opções exclusivas (ou uma ou outra).
Esse raciocínio aparece desde questões simples de sistema de numeração e formação de números até problemas mais avançados de Análise Combinatória e Probabilidade.
Exemplos resolvidos de Introdução à Contagem
A senha tem 3 posições: primeiro algarismo, segundo algarismo e terceiro algarismo.
Para cada posição, podemos escolher qualquer algarismo de 0 a 9, ou seja, 10 opções por posição.
As escolhas são independentes, então usamos a regra do produto:
\[ 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000 \]
Logo, existem 1000 senhas diferentes.
- 1 tipo de pão entre 4 opções;
- 1 tipo de queijo entre 3 opções;
- 1 tipo de carne entre 2 opções.
Cada lanche é determinado por um triplo: (tipo de pão, tipo de queijo, tipo de carne).
Número de escolhas:
- Pão: 4 maneiras;
- Queijo: 3 maneiras;
- Carne: 2 maneiras.
As escolhas são feitas em sequência e são independentes, logo aplicamos a regra do produto:
\[ 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \]
Portanto, existem 24 lanches diferentes possíveis.
- 4 tipos de curso presencial ou
- 3 tipos de curso on-line.
Existem dois modos de escolha:
- modo A: escolher um dos 4 cursos presenciais;
- modo B: escolher um dos 3 cursos on-line.
O aluno não pode fazer os dois tipos ao mesmo tempo, então esses modos são mutuamente exclusivos (“ou um ou outro”).
Para contar o total, usamos a regra da soma:
\[ 4 + 3 = 7 \]
Logo, há 7 maneiras diferentes de o aluno escolher o curso.
Se você já domina esses exemplos, está pronto para avançar para permutações, arranjos e combinações em um curso estruturado, como o Curso de Matemática Básica do Professor Adriano Rocha .
Lista de Exercícios – Introdução à Contagem
Resolva os exercícios a seguir usando a regra do produto, a regra da soma e o Princípio Fundamental da Contagem. Logo abaixo de cada enunciado você encontra a solução detalhada no sistema de abre e fecha.
Uma senha numérica é formada por 3 algarismos, e cada algarismo pode ser qualquer número de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podem ser formadas?
A senha tem 3 posições: primeiro, segundo e terceiro algarismo.
Cada posição pode ser preenchida com qualquer um dos 10 algarismos (0 a 9).
Como são escolhas em sequência e independentes, usamos a regra do produto:
\[ 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3 = 1000 \]
Portanto, existem 1000 senhas diferentes.
Em uma lanchonete, para montar um prato você escolhe:
- 1 tipo de carne entre 4 opções;
- 1 tipo de acompanhamento entre 3 opções;
- 1 tipo de suco entre 2 opções.
Quantos pratos completos diferentes podem ser montados?
Um prato é definido por um trio (carne, acompanhamento, suco).
Número de escolhas:
- Carne: 4 maneiras;
- Acompanhamento: 3 maneiras;
- Suco: 2 maneiras.
São escolhas sucessivas e independentes, então:
\[ 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \]
Logo, existem 24 pratos completos diferentes.
Uma senha é formada por 2 letras (entre A, B, C e D), sem repetição, seguidas de 1 algarismo (de 0 a 9). Quantas senhas diferentes podem ser formadas?
A senha tem o formato: letra 1, letra 2, algarismo.
Para a primeira letra, temos 4 opções (A, B, C, D).
Como não pode haver repetição de letras, para a segunda letra restam 3 opções.
Para o algarismo, temos 10 opções (0 a 9).
Usamos a regra do produto:
\[ 4 \cdot 3 \cdot 10 = 120 \]
Portanto, existem 120 senhas diferentes.
Uma prova possui 5 questões de certo ou errado. De quantas maneiras diferentes um candidato pode responder à prova inteira?
Para cada questão, existem 2 opções: Certo (C) ou Errado (E).
Como são 5 questões e cada uma pode ser respondida de 2 formas independentes:
\[ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32 \]
Logo, o candidato pode responder à prova de 32 maneiras diferentes.
Em uma sala com 30 alunos, deseja-se escolher um representante e um vice-representante, em que as funções são distintas. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita?
Primeiro escolhemos o representante: existem 30 possibilidades.
Depois escolhemos o vice, dentre os alunos restantes: 29 possibilidades.
As escolhas são em sequência e as funções são diferentes, então:
\[ 30 \cdot 29 = 870 \]
Logo, há 870 maneiras de escolher representante e vice.
Considere um modelo de placa veicular formado por 3 letras seguidas de 4 algarismos. Suponha que:
- cada letra pode ser qualquer uma das 26 letras do alfabeto;
- cada algarismo pode ser qualquer número de 0 a 9.
Quantas placas diferentes podem ser formadas?
A placa tem 3 posições de letras e 4 posições de algarismos: L1 L2 L3 D1 D2 D3 D4.
Para cada posição de letra, há 26 opções. Para cada posição de algarismo, há 10 opções.
Total de placas:
\[ 26^3 \cdot 10^4 \]
Calculando:
\[ 26^3 = 26 \cdot 26 \cdot 26 = 17576 \]
\[ 10^4 = 10000 \]
\[ 17576 \cdot 10000 = 175{.}760{.}000 \]
Portanto, existem 175 760 000 placas diferentes.
Uma loja vende 5 modelos de camisetas e 3 modelos de calças. Quantos conjuntos (camiseta + calça) diferentes um cliente pode montar?
Cada conjunto é formado escolhendo:
- 1 camiseta entre 5 opções;
- 1 calça entre 3 opções.
Aplicando a regra do produto:
\[ 5 \cdot 3 = 15 \]
Logo, há 15 conjuntos diferentes.
Usando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados?
O número tem 3 posições (centena, dezena e unidade), todas com algarismos distintos.
Para a primeira posição, podemos escolher qualquer um dos 5 algarismos.
Para a segunda posição, restam 4 algarismos (não pode repetir o primeiro).
Para a terceira posição, restam 3 algarismos.
Usando a regra do produto:
\[ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \]
Portanto, é possível formar 60 números de três algarismos distintos.
Para ir de casa até o curso preparatório, uma pessoa pode:
- ir até a escola por 2 caminhos diferentes e, da escola ao curso, por 3 caminhos diferentes;
De quantas maneiras diferentes a pessoa pode ir de casa até o curso passando pela escola?
O trajeto é feito em duas etapas:
- Casa → Escola: 2 caminhos;
- Escola → Curso: 3 caminhos.
Para cada escolha de caminho na primeira etapa, há 3 opções na segunda etapa.
Usando a regra do produto:
\[ 2 \cdot 3 = 6 \]
Assim, existem 6 trajetos diferentes de casa ao curso passando pela escola.
Uma escola oferece:
- 4 tipos de curso de reforço de Matemática na modalidade presencial;
- 3 tipos de curso de reforço na modalidade on-line.
Um aluno vai escolher apenas um único curso, presencial ou on-line. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita?
O aluno pode escolher:
- um dos 4 cursos presenciais; ou
- um dos 3 cursos on-line.
As opções são excludentes (não pode fazer os dois ao mesmo tempo), então aplicamos a regra da soma:
\[ 4 + 3 = 7 \]
Portanto, o aluno tem 7 maneiras diferentes de escolher o curso.
Próximos passos em Análise Combinatória
Se você entendeu bem a regra do produto, a regra da soma e o Princípio Fundamental da Contagem, já tem a base para seguir em frente em Análise Combinatória.
Os próximos temas naturais são:
- Permutações (rearranjo de elementos);
- Arranjos (seleção em que a ordem importa);
- Combinações (seleção em que a ordem não importa).
Para continuar estudando com organização, você pode explorar:
- os Mapas Mentais de Matemática para concurso , que resumem os principais tópicos em esquemas visuais;
- o Curso Matemática Básica: Do Zero à Confiança Prática , com aulas passo a passo;
- o pacote 10 eBooks de Matemática para Concursos , com teoria e questões comentadas;
- e o guia de Matemática para o ENEM , focado nas habilidades cobradas na prova.
Estude alguns minutos por dia, refaça os exercícios e, sempre que possível, tente explicar a solução em voz alta. Isso ajuda a consolidar a lógica da contagem e prepara você para questões mais complexas de Análise Combinatória, Probabilidade e Raciocínio Lógico.
