Noções Iniciais de Lógica

Nesta aula de Matemática Básica, vamos introduzir conceitos fundamentais de lógica. Estes conceitos, apesar de iniciais, serão úteis em diversas áreas da Matemática e em outras disciplinas. Vamos entender o que são proposições, como aplicar negações, conectar sentenças e trabalhar com quantificadores.

O que é uma Proposição?

Uma proposição (ou sentença) é uma oração declarativa que pode assumir apenas dois valores lógicos: verdadeira (V) ou falsa (F). Para ser considerada uma proposição, uma frase deve ter:

• Sujeito e predicado, formando uma afirmação com sentido completo.
• Caráter declarativo, ou seja, expressar uma afirmação.
• Apenas um valor lógico (ou verdadeiro ou falso).

Exemplo: “2 é um número par” é uma proposição verdadeira.

Negações

Dada uma proposição P, sua negação é indicada por ¬P (lê-se “não P”). A negação sempre assume o valor lógico oposto ao de P:

Se P = “2 é par” (verdadeira), então ¬P = “2 não é par” (falsa).

Proposições Compostas e Conectivos

Proposições compostas são formadas a partir de duas ou mais proposições simples, unidas por conectivos lógicos. Os principais conectivos são:

• Conjunção (E): P ∧ Q – “P e Q”
• Disjunção (OU): P ∨ Q – “P ou Q”

Exemplo de Conjunção: “2 é par e 9 é múltiplo de 3”.

Exemplo de Disjunção: “5 é ímpar ou 10 é múltiplo de 4”.

Sentenças Abertas

Uma sentença aberta é aquela que depende do valor de uma variável para ser verdadeira ou falsa. Por exemplo:

X + 1 = 5

Se X = 4, a sentença é verdadeira. Se X = 2, a sentença é falsa.

Quantificadores

Para dar um valor lógico fixo a sentenças abertas, utilizamos os quantificadores:

• Quantificador Universal (∀): significa “para todo” ou “qualquer que seja”.
• Quantificador Existencial (∃): significa “existe” ou “existe pelo menos um”.

Exemplo:

∀x (x + 1 = 5) – “Para todo x, x + 1 = 5” (falso).

∃x (x + 1 = 5) – “Existe x tal que x + 1 = 5” (verdadeiro, pois x = 4).

Negações com Quantificadores

A negação de uma frase com quantificadores troca o tipo de quantificador:

• ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x)
• ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x)

Resumo da Aula

• Proposição: frase declarativa, verdadeira ou falsa.
• Negações trocam o valor lógico da proposição.
• Conjunções (E) e disjunções (OU) combinam proposições.
• Sentenças abertas precisam de valores para se tornar verdadeiras ou falsas.
• Quantificadores ∀ e ∃ definem universalidade e existência.

Exercícios sobre Lógica Proposicional

Clique em “Ver solução” para abrir e conferir o passo a passo de cada exercício.

1. Identificando proposições

Das sentenças abaixo, quais são proposições? Justifique.

• a) O céu é azul.
• b) Que dia bonito!
• c) 3 + 2 = 5.
• d) Qual é o seu nome?

2. Negações

Dada a proposição P: “7 é um número par”. Escreva a negação de P.

3. Conjunções e Disjunções

Considere as proposições:

P: “4 é par”
Q: “9 é múltiplo de 3”

Forme as proposições compostas:

• a) P ∧ Q
• b) P ∨ Q

4. Sentenças abertas

Considere a sentença: “x + 3 = 7”.

a) Essa sentença é proposição? Por quê?

b) Qual valor de x torna a sentença verdadeira?

5. Quantificadores

Analise a validade das sentenças:

a) ∀x ∈ ℕ, x + 1 = 5

b) ∃x ∈ ℕ, x + 1 = 5