Introdução às Integrais: Antiderivada, Primitiva e Integrais Imediatas

As integrais são um dos pilares do Cálculo. Antes da integral definida, entendemos a antiderivada (ou primitiva): dada uma função \(f(x)\), toda \(F(x)\) cuja derivada é \(F'(x)=f(x)\) é uma antiderivada de \(f\).

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C \]

Integrais imediatas (tabela básica)

\[\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1\]

\[\int e^x\,dx=e^x+C\]

\[\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\]

\[\int \cos x\,dx=\sin x+C\]

\[\int \sin x\,dx=-\cos x+C\]

\[\int \sec^2 x\,dx=\tan x+C\]

\[\int \csc^2 x\,dx=-\cot x+C\]

Domínios: Em integrais que resultam em logaritmo, usar valor absoluto é essencial: \(\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\). Para \(-\ln|\cos x|\) (equivalente a \(\ln|\sec x|\)), considerar intervalos onde \(\cos x\neq 0\).

Exemplos resolvidos

1) Potência

Calcule \(\int x^3\,dx\)

👀 Ver solução

\[ \int x^3\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C \]

2) Exponencial

Calcule \(\int e^x\,dx\)

👀 Ver solução

\[ \int e^x\,dx=e^x+C \]

3) Trigonométrica

Calcule \(\int \cos x\,dx\)

👀 Ver solução

\[ \int \cos x\,dx=\sin x+C \]

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Regras essenciais (antes de praticar)

Regra da potência: \(\displaystyle \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (com \(n\neq -1\)).

Multiplicação por constante: \(\displaystyle \int k\,f(x)\,dx=k\int f(x)\,dx\).

Soma/Diferença: \(\displaystyle \int\big(f(x)\pm g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx\).

Lista de exercícios

Resolva as integrais imediatas abaixo. Observe os domínios quando surgirem logaritmos.

\(\displaystyle \int x^5\,dx\)
\(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx\)
\(\displaystyle \int \sin x\,dx\)
\(\displaystyle \int 2x\,dx\)
\(\displaystyle \int e^{2x}\,dx\)
\(\displaystyle \int \sec^2 x\,dx\)
\(\displaystyle \int x^{-3}\,dx\)
\(\displaystyle \int (3x^2+2x)\,dx\)
\(\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2}\,dx\)
\(\displaystyle \int \tan x\,dx\)

📘 Mostrar gabarito

\(\displaystyle \frac{x^6}{6}+C\)
\(\displaystyle \ln|x|+C\) (domínio: \(x\neq 0\))
\(\displaystyle -\cos x+C\)
\(\displaystyle x^2+C\)
\(\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}+C\)
\(\displaystyle \tan x+C\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2x^2}+C\)
\(\displaystyle x^3+x^2+C\)
\(\displaystyle \arctan x+C\)
\(\displaystyle -\ln|\cos x|+C\) (ou \(\ln|\sec x|+C\); \(\cos x\neq 0\))

Cheque por derivação

Uma forma de validar antiderivadas é derivar o resultado para ver se retornamos ao integrando.

🔎 Verificações rápidas

\[ \frac{d}{dx}\!\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)=e^{2x}\quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\!\left(-\ln|\cos x|\right)=\tan x. \] \[ \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^n\quad(n\neq -1). \]

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