Derivadas, Retas Tangentes, Limites e Derivação Implícita — Passo a Passo

Exercícios

1. 1) Calcule as derivadas

   • a) \(f(x)=x^{4}\)
   • b) \(f(x)=x^{-4}\)
   Ver soluções (passo a passo)

   a) \(f(x)=x^{4}\)

   1. Use a regra da potência: \(\dfrac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}\).
   2. Com \(n=4\): \(f'(x)=4x^{4-1}\).
   3. Resultado: \(f'(x)=4x^{3}\).

   b) \(f(x)=x^{-4}\)

   1. Potência com expoente negativo também segue a mesma regra.
   2. Derive: \(\dfrac{d}{dx}x^{-4}=-4x^{-5}\).
   3. Opcional: escreva sem expoente negativo: \(f'(x)=-\dfrac{4}{x^{5}}\) (com \(x\neq0\)).

2. 2) Encontre a reta tangente à curva \(f(x)=x^{3}-4x^{2}+2x\) no ponto \(x=2\).

   Ver solução (passo a passo)

   1. Calcule o ponto da curva: \(f(2)=8-16+4=-4\Rightarrow (2,-4)\).
   2. Derive: \(f'(x)=3x^{2}-8x+2\).
   3. Inclinação no ponto: \(m=f'(2)=12-16+2=-2\).
   4. Equação ponto–inclinação: \(y-y_0=m(x-x_0)\) com \((x_0,y_0)=(2,-4)\).
   5. Simplifique: \(y+4=-2(x-2)\Rightarrow\) \(\boxed{y=-2x}\).

3. 3) Calcule a derivada \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{3}}\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Quociente com \(u=\ln x\Rightarrow u’=1/x\) e \(v=x^{3}\Rightarrow v’=3x^{2}\).
   2. Regra do quociente: \(\left(\frac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^{2}}\).
   3. Aplique: \(\dfrac{(1/x)x^{3}-(\ln x)3x^{2}}{x^{6}}=\dfrac{x^{2}-3x^{2}\ln x}{x^{6}}\).
   4. Fatore \(x^{2}\) e simplifique: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{1-3\ln x}{x^{4}}}\) (com \(x>0\)).

4. 4) Calcule a derivada \(f(x)=\sqrt{\,2x^{2}+2x\,}\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Escreva como potência: \(f(x)=(2x^{2}+2x)^{1/2}\).
   2. Regra da cadeia: \((g(x))^{1/2}\)’ \(=\dfrac{1}{2}(g(x))^{-1/2}\cdot g'(x)\).
   3. Calcule \(g'(x)=4x+2\).
   4. Substitua: \(f'(x)=\dfrac{1}{2}(2x^{2}+2x)^{-1/2}(4x+2)\).
   5. Escreva com raiz: \(\boxed{f'(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{2x^{2}+2x}}}\) (domínio: \(2x^{2}+2x>0\)).

5. 5) Reta tangente à curva \(y=(x-1)^{5}\) no ponto \((2,1)\).

   Ver solução (passo a passo)

   1. Derive: \(y’=5(x-1)^{4}\).
   2. Inclinação em \(x=2\): \(m=5(1)^{4}=5\).
   3. Use \(y-y_0=m(x-x_0)\) com \((2,1)\): \(y-1=5(x-2)\).
   4. Resultado: \(\boxed{y=5x-9}\).

6. 6) Calcule a derivada \(f(x)=\ln(\sin x)\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Cadeia com \(u=\sin x\Rightarrow u’=\cos x\).
   2. \(\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u’}{u}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}\).
   3. Simplifique: \(\boxed{f'(x)=\cot x}\) (domínio: \(\sin x>0\)).

7. 7) Derivação implícita: \(x^{2}y+2y^{3}=3x+2y\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. \(\dfrac{d}{dx}(x^{2}y)=2xy+x^{2}y’\) (produto).
   2. \(\dfrac{d}{dx}(2y^{3})=6y^{2}y’\) (cadeia).
   3. Direita: \(\dfrac{d}{dx}(3x+2y)=3+2y’\).
   4. Monte: \(2xy+x^{2}y’+6y^{2}y’=3+2y’\).
   5. Agrupe \(y’\): \((x^{2}+6y^{2}-2)y’ = 3-2xy\).
   6. Isole: \(\boxed{y’=\dfrac{3-2xy}{x^{2}+6y^{2}-2}}\).

8. 8) Limite \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^{5x}-1}{6x}\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Substituição direta: \(0/0\) (indeterminação).
   2. L’Hôpital: derive o numerador e o denominador → \(\dfrac{5e^{5x}}{6}\).
   3. Agora avalie em \(x=0\): \(e^{0}=1\Rightarrow\) \(\boxed{\dfrac{5}{6}}\).
   4. (Série: \(e^{5x}=1+5x+\cdots\Rightarrow\) mesmo resultado.)

9. 9) Limite \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^{2}-x}\)

   Ver solução (passo a passo)

   1. Substitua \(x=1\): \(0/0\).
   2. L’Hôpital: \(\dfrac{(1/x)}{2x-1}\).
   3. Valor no ponto: \(\dfrac{1}{1}/(2-1)=1\).
   4. Conclusão: \(\boxed{1}\).

10. 10) Pontos críticos de \(f(x)=3x^{5}+5x^{4}-10x^{3}-15\)

    Ver solução (passo a passo)

    1. Derive: \(f'(x)=15x^{4}+20x^{3}-30x^{2}\).
    2. Fatore: \(f'(x)=5x^{2}(3x^{2}+4x-6)\).
    3. Resolva \(f'(x)=0\): \(x=0\) (raiz dupla) ou \(3x^{2}+4x-6=0\).
    4. Quadrática: \(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+72}}{6}=\dfrac{-2\pm\sqrt{22}}{3}\).
    5. Abscissas críticas: \(\{0,\; \tfrac{-2+\sqrt{22}}{3},\; \tfrac{-2-\sqrt{22}}{3}\}\).

Continue estudando com o Matemática Hoje