ITA 2024 — 1ª Fase — Questão 38 — Sistemas lineares com matrizes
Sejam \(A, B, C, D \in M_n(\mathbb{R})\). Considere o sistema linear, nas variáveis \(X, Y \in M_n(\mathbb{R})\):
\[
\begin{cases}
AX = B,\\[2pt]
DX + Y = C.
\end{cases}
\]
Considere as afirmações:
I. Se \(\det A = 0\) ou \(\det D = 0\), então o sistema é impossível.
II. Se \(A = B\), então o sistema possui uma única solução.
III. O sistema possui uma única solução apenas se \(A\) e \(D\) são inversíveis.
É(São) VERDADEIRA(S):
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) nenhuma.
I. Se \(\det A = 0\) ou \(\det D = 0\), então o sistema é impossível.
II. Se \(A = B\), então o sistema possui uma única solução.
III. O sistema possui uma única solução apenas se \(A\) e \(D\) são inversíveis.
É(São) VERDADEIRA(S):
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas II e III.
e) nenhuma.
👀 Solução Passo a Passo
I) Falsa.
Considere \(A=B=D=0_{n\times n}\) (matriz nula) e \(C\) qualquer. O sistema fica \[ \begin{cases} 0\cdot X = 0,\\ 0\cdot X + Y = C, \end{cases} \] logo \(Y=C\) e \(X\) é arbitrário. Há infinitas soluções, portanto o sistema não é impossível mesmo com \(\det A=\det D=0\).
II) Falsa.
Ainda com \(A=B=0\) e \(D=0\), pelo exemplo acima, o sistema tem infinitas soluções. Assim, de \(A=B\) não decorre unicidade.
III) Falsa.
Se \(A\) é inversível, da primeira equação obtemos \[ X = A^{-1}B \quad (\text{único}). \] Substituindo na segunda: \[ Y = C – DX = C – D\,A^{-1}B, \] também único — independentemente de \(D\) ser inversível. Logo, a unicidade não exige inversibilidade de \(D\).
Considere \(A=B=D=0_{n\times n}\) (matriz nula) e \(C\) qualquer. O sistema fica \[ \begin{cases} 0\cdot X = 0,\\ 0\cdot X + Y = C, \end{cases} \] logo \(Y=C\) e \(X\) é arbitrário. Há infinitas soluções, portanto o sistema não é impossível mesmo com \(\det A=\det D=0\).
II) Falsa.
Ainda com \(A=B=0\) e \(D=0\), pelo exemplo acima, o sistema tem infinitas soluções. Assim, de \(A=B\) não decorre unicidade.
III) Falsa.
Se \(A\) é inversível, da primeira equação obtemos \[ X = A^{-1}B \quad (\text{único}). \] Substituindo na segunda: \[ Y = C – DX = C – D\,A^{-1}B, \] também único — independentemente de \(D\) ser inversível. Logo, a unicidade não exige inversibilidade de \(D\).
Resposta: e) nenhuma
