ITA 2024 — 1ª Fase — Questão 46 — Números Complexos
Sejam \(a = 1 + 3\sqrt{3}\,i\) e \(b = 2\sqrt{3} + 4i\) números complexos.
O menor valor \(m \in \mathbb{N}\) tal que \(a^m = b^m\) é:
a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) não existe \(m \in \mathbb{N}\) satisfazendo esta igualdade.
a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) não existe \(m \in \mathbb{N}\) satisfazendo esta igualdade.
Alternativas:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) não existe \(m \in \mathbb{N}\) satisfazendo esta igualdade
👀 Solução Passo a Passo
1) Razão \( \dfrac{a}{b} \):
\[ \frac{a}{b} = \frac{1 + 3\sqrt{3}\,i}{\,2\sqrt{3} + 4i\,} = \frac{(1 + 3\sqrt{3}\,i)(\,2\sqrt{3} – 4i\,)}{(2\sqrt{3})^2 + 4^2} = \frac{14\sqrt{3} + 14i}{28} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ. \] Logo, \[ \frac{a}{b} = \operatorname{cis}(30^\circ). \]
2) Condição \(a^m = b^m\):
\[ a^m = b^m \;\;\Longleftrightarrow\;\; \left(\frac{a}{b}\right)^m = 1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \operatorname{cis}(30^\circ m) = 1. \] Portanto, \[ 30^\circ m = 360^\circ k \quad (k \in \mathbb{N}) \;\;\Longrightarrow\;\; m = 12k. \]
3) Mínimo \(m\):
O menor \(m \in \mathbb{N}\) que satisfaz é \(m = 12\).
\[ \frac{a}{b} = \frac{1 + 3\sqrt{3}\,i}{\,2\sqrt{3} + 4i\,} = \frac{(1 + 3\sqrt{3}\,i)(\,2\sqrt{3} – 4i\,)}{(2\sqrt{3})^2 + 4^2} = \frac{14\sqrt{3} + 14i}{28} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ. \] Logo, \[ \frac{a}{b} = \operatorname{cis}(30^\circ). \]
2) Condição \(a^m = b^m\):
\[ a^m = b^m \;\;\Longleftrightarrow\;\; \left(\frac{a}{b}\right)^m = 1 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \operatorname{cis}(30^\circ m) = 1. \] Portanto, \[ 30^\circ m = 360^\circ k \quad (k \in \mathbb{N}) \;\;\Longrightarrow\;\; m = 12k. \]
3) Mínimo \(m\):
O menor \(m \in \mathbb{N}\) que satisfaz é \(m = 12\).
Resposta: d) 12
