Questão 02 — ITA 2025 — 1ª Fase | Conteúdo: Poliedros • Teorema de Euler • Contagem
Considere as afirmações:
- I. Existe um poliedro formado por 3 faces triangulares e as demais faces quadrangulares.
- II. Existe um poliedro não convexo com 5 vértices, 9 arestas e 6 faces.
- III. Existe um poliedro convexo com 7 vértices, 16 arestas e 11 faces.
Estão correta(s):
👀 Solução passo a passo
Figura — ilustração relacionada ao enunciado.Suponha 3 faces triangulares e \(n\) faces quadrangulares. A contagem de arestas pelo somatório dos lados das faces (cada aresta contada duas vezes) dá:
$$A=\frac{3\cdot 3 + n\cdot 4}{2}=\frac{9+4n}{2}$$Como \(9+4n\) é ímpar para todo \(n\in\mathbb{N}\), \(A\) não é inteiro — impossibilidade para poliedro. Logo, a I é falsa.
2) Afirmação IIPara \(V=5,\ A=9,\ F=6\), a relação de Euler (para poliedros topologicamente esféricos) vale:
$$V – A + F = 5 – 9 + 6 = 2$$Há exemplos não convexos que atendem a esses números (e.g., variações “estreladas”). Portanto, a II é verdadeira.
3) Afirmação IIIPara um poliedro convexo, temos que a soma dos lados das faces é \(2A\) e cada face possui ao menos 3 lados, logo:
$$2A \ge 3F \quad\Rightarrow\quad A \ge \frac{3}{2}F$$Com \(F=11\):
$$A \ge \frac{3}{2}\cdot 11 = 16{,}5 \;\Rightarrow\; A \ge 17$$Mas o enunciado pede \(A=16\). Contradição. Assim, a III é falsa.
4) ConclusãoCorretas: apenas a II. Gabarito: e).
