Questão 04 — ITA 2025 — 1ª Fase
Conteúdo: Funções • Injetividade e Sobrejetividade
Enunciado
Sejam \(f(x)\) e \(g(x)\) funções reais definidas para todo \(x \in \mathbb{R}\).
Se para todo \(x > 0\) vale a igualdade:
\[
g(x^2) = f(2x^2 – x + 1),
\]
podemos afirmar que:
a) \(f\) não é sobrejetora.
b) \(f\) não é injetora.
c) \(g\) não é sobrejetora.
d) \(g\) não é injetora.
e) \(f(a) \neq g(a)\) para todo \(a > 0\).
👀 Solução passo a passo
1) Analisando \(x^2\) para \(x>0\):
A função \(x^2\) é estritamente crescente para \(x>0\), logo não repete valores nessa região.
Figura 1 — Gráfico de \(x^2\) para \(x>0\).
A função \(x^2\) é estritamente crescente para \(x>0\), logo não repete valores nessa região.
Figura 1 — Gráfico de \(x^2\) para \(x>0\).
2) Analisando \(2x^2 – x + 1\):
É uma parábola com vértice em \(x = \frac{1}{4}\) e eixo de simetria vertical. Valores equidistantes do vértice produzem imagens iguais.
É uma parábola com vértice em \(x = \frac{1}{4}\) e eixo de simetria vertical. Valores equidistantes do vértice produzem imagens iguais.
Figura 2 — Gráfico da parábola \(2x^2 – x + 1\).
3) Exemplo numérico:
Para \(x=0{,}2\) e \(x=0{,}3\), equidistantes de \(0{,}25\), temos: \[ g(0{,}04) = f(0{,}88), \quad g(0{,}09) = f(0{,}88) \ \Rightarrow\ g(0{,}04) = g(0{,}09). \]
Para \(x=0{,}2\) e \(x=0{,}3\), equidistantes de \(0{,}25\), temos: \[ g(0{,}04) = f(0{,}88), \quad g(0{,}09) = f(0{,}88) \ \Rightarrow\ g(0{,}04) = g(0{,}09). \]
4) Conclusão:
\(g\) não é injetora. Alternativa correta: **d)**.
\(g\) não é injetora. Alternativa correta: **d)**.
