Questão 05 — ITA 2025 — 1ª Fase
Conteúdo: Sequências • Somatório • PG e PA
Enunciado
Sejam \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) e \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) duas sequências numéricas tais que
\[
S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k = b_{n+1} – b_1 \quad \text{para todo } n\in\mathbb{N}.
\]
Considere as afirmações abaixo:
- I. Se \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) é uma PG, então \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) também é PG.
- II. Se \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) é uma PG, então \((b_n)_{n\in\mathbb{N}}\) também é PG.
- III. Se \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) é uma PA, então \((S_n)_{n\in\mathbb{N}}\) também é PA.
a) I e II.
b) II e III.
c) I e III.
d) apenas I.
e) nenhuma.
👀 Solução passo a passo
1) Reescrever a lei de formação:
De \(S_n=b_{n+1}-b_1\), notando que \(S_n-S_{n-1}=a_n\) e \(S_{n-1}=b_n-b_1\), obtemos \[ a_n = S_n – S_{n-1} = (b_{n+1}-b_1) – (b_n – b_1) = b_{n+1}-b_n. \] Assim, \(a_n\) é a diferença sucessiva da sequência \(b_n\).
De \(S_n=b_{n+1}-b_1\), notando que \(S_n-S_{n-1}=a_n\) e \(S_{n-1}=b_n-b_1\), obtemos \[ a_n = S_n – S_{n-1} = (b_{n+1}-b_1) – (b_n – b_1) = b_{n+1}-b_n. \] Assim, \(a_n\) é a diferença sucessiva da sequência \(b_n\).
2) Item I — Se \((b_n)\) é PG, então \((a_n)\) é PG (Verdadeiro):
Seja \(b_n=b_1 q^{\,n-1}\) (\(q\) constante). Então \[ a_n=b_{n+1}-b_n=b_1 q^{\,n}-b_1 q^{\,n-1}=b_1 q^{\,n-1}(q-1). \] Logo, \((a_n)\) também é PG, com mesma razão \(q\) (ou razão proporcional), pois \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{b_1 q^{\,n}(q-1)}{b_1 q^{\,n-1}(q-1)}=q\).
Seja \(b_n=b_1 q^{\,n-1}\) (\(q\) constante). Então \[ a_n=b_{n+1}-b_n=b_1 q^{\,n}-b_1 q^{\,n-1}=b_1 q^{\,n-1}(q-1). \] Logo, \((a_n)\) também é PG, com mesma razão \(q\) (ou razão proporcional), pois \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{b_1 q^{\,n}(q-1)}{b_1 q^{\,n-1}(q-1)}=q\).
3) Item II — Se \((a_n)\) é PG, então \((b_n)\) é PG (Falso):
Contraexemplo: tome \((a_n)\) PG com \(a_1=1\) e razão \(2\) \(\Rightarrow\) \(a=(1,2,4,\ldots)\). De \(a_n=b_{n+1}-b_n\), imponha \(b_1=2\). Então: \[ b_2=b_1+a_1=3,\quad b_3=b_2+a_2=5,\quad b_4=b_3+a_3=9,\ \ldots \] A sequência \((b_n)=(2,3,5,9,\ldots)\) **não** é PG. Logo, o item II é falso.
Contraexemplo: tome \((a_n)\) PG com \(a_1=1\) e razão \(2\) \(\Rightarrow\) \(a=(1,2,4,\ldots)\). De \(a_n=b_{n+1}-b_n\), imponha \(b_1=2\). Então: \[ b_2=b_1+a_1=3,\quad b_3=b_2+a_2=5,\quad b_4=b_3+a_3=9,\ \ldots \] A sequência \((b_n)=(2,3,5,9,\ldots)\) **não** é PG. Logo, o item II é falso.
4) Item III — Se \((a_n)\) é PA, então \((S_n)\) é PA (Falso):
Se \((a_n)\) é PA com razão \(r\), então \(a_{n+1}-a_n=r\) (constante). Mas \(S_n\) é soma parcial: \(S_1=a_1,\ S_2=a_1+a_2,\ S_3=a_1+a_2+a_3,\ldots\) Assim, \[ S_{n+1}-S_n=a_{n+1}, \] o que **não** é constante (varia linearmente com \(n\)) quando \(r\neq 0\). Logo, em geral, \((S_n)\) **não** é PA. (Só seria PA se \(a_n\) fosse constante.)
Se \((a_n)\) é PA com razão \(r\), então \(a_{n+1}-a_n=r\) (constante). Mas \(S_n\) é soma parcial: \(S_1=a_1,\ S_2=a_1+a_2,\ S_3=a_1+a_2+a_3,\ldots\) Assim, \[ S_{n+1}-S_n=a_{n+1}, \] o que **não** é constante (varia linearmente com \(n\)) quando \(r\neq 0\). Logo, em geral, \((S_n)\) **não** é PA. (Só seria PA se \(a_n\) fosse constante.)
5) Resposta final:
Apenas o item I é verdadeiro. Alternativa correta: d).
Apenas o item I é verdadeiro. Alternativa correta: d).
