Questão 07 — ITA 2025 — 1ª Fase
Conteúdo: Sistemas lineares • Equivalência de sistemas
Enunciado
Sejam \(m, n, k\) números reais. Considere os sistemas abaixo:
Sistema I: \[ \begin{cases} x + y + z = 1\\ x – y + 2z = 2\\ 2x + y + 4z = 4 \end{cases} \] Sistema II: \[ \begin{cases} x + y + z = 1\\ x + my + nz = 5\\ kx + y – z = 3m + 2n \end{cases} \] Sabendo-se que os dois sistemas são equivalentes (mesmo conjunto solução), determine o valor de \(k\):
Sistema I: \[ \begin{cases} x + y + z = 1\\ x – y + 2z = 2\\ 2x + y + 4z = 4 \end{cases} \] Sistema II: \[ \begin{cases} x + y + z = 1\\ x + my + nz = 5\\ kx + y – z = 3m + 2n \end{cases} \] Sabendo-se que os dois sistemas são equivalentes (mesmo conjunto solução), determine o valor de \(k\):
a) \(\frac{1}{3}\)
b) \(\frac{1}{2}\)
c) \(1\)
d) \(2\)
e) \(3\)
👀 Solução passo a passo
1) Escalonando o sistema I:
Da primeira equação: \(y – 2z = 1\) e \(2y + z = 1\).
Da primeira equação: \(y – 2z = 1\) e \(2y + z = 1\).
2) Escalonando o sistema II:
Pela primeira: \((m-1)y + (n-1)z = 4\) e \((1-k)y + (-1-k)z = 3m + 2n – k\).
Pela primeira: \((m-1)y + (n-1)z = 4\) e \((1-k)y + (-1-k)z = 3m + 2n – k\).
3) Equivalência dos sistemas:
Comparando as segundas equações: \(m-1=4 \Rightarrow m=5\). Comparando as terceiras: \(n-1=-8 \Rightarrow n=-7\).
Comparando as segundas equações: \(m-1=4 \Rightarrow m=5\). Comparando as terceiras: \(n-1=-8 \Rightarrow n=-7\).
4) Substituindo na 3ª equação do II:
\((1-k)y + (-1-k)z = 1 – k\). Dividindo por \(1-k\): \(y + \frac{-1-k}{1-k} z = 1\).
\((1-k)y + (-1-k)z = 1 – k\). Dividindo por \(1-k\): \(y + \frac{-1-k}{1-k} z = 1\).
5) Comparando com o sistema I:
Igualando coeficientes: \(\frac{-1-k}{1-k} = -2 \Rightarrow k = \frac{1}{3}\).
Igualando coeficientes: \(\frac{-1-k}{1-k} = -2 \Rightarrow k = \frac{1}{3}\).
6) Resposta final:
\(\boxed{k = \frac{1}{3}}\). Alternativa correta: **a)**.
\(\boxed{k = \frac{1}{3}}\). Alternativa correta: **a)**.
