Questão 07 — ITA 2025 — 1ª Fase | Conteúdo: Sistemas lineares • Equivalência de sistemas
Sejam \(m, n, k\) números reais. Considere:
Sistema I:
\[ \begin{cases} x + y + z = 1\\ x – y + 2z = 2\\ 2x + y + 4z = 4 \end{cases} \]Sistema II:
\[ \begin{cases} x + y + z = 1\\ x + my + nz = 5\\ kx + y – z = 3m + 2n \end{cases} \]Sabendo que os dois sistemas são equivalentes, determine \(k\):
a) \(\frac{1}{3}\)b) \(\frac{1}{2}\)c) \(1\)d) \(2\)e) \(3\)
👀 Solução passo a passo
1) Escalonando o sistema I
Da primeira: \(y – 2z = 1\) e \(2y + z = 1\).
2) Escalonando o sistema II
Da primeira: \((m-1)y + (n-1)z = 4\) e \((1-k)y + (-1-k)z = 3m + 2n – k\).
3) Comparando os sistemas
Segunda equação: \(m=5\). Terceira: \(n=-7\).
4) Substituindo valores
\((1-k)y + (-1-k)z = 1-k \Rightarrow \frac{-1-k}{1-k}=-2 \Rightarrow k=\frac13\).
Gabarito: a) — \(k = \frac13\).
