Questão 08 — ITA 2025 — 1ª Fase
Conteúdo: Trigonometria • Domínio de funções • Intervalos
Enunciado
Considere a função
\[
f(x)=\sqrt{\frac{2\sin(2x)+2\sin(x)-2\cos(x)-1}{8\left(\cos(2x)+1\right)}}.
\]
Seja \(I=(a,b)\) o intervalo de maior comprimento contido em \([-\pi,2\pi]\) tal que \(f(x)\) está definida para todo \(x\in I\).
O valor de \(a+b\) é
a) \(0\)
b) \(\dfrac{\pi}{3}\)
c) \(\dfrac{2\pi}{3}\)
d) \(\dfrac{5\pi}{6}\)
e) \(\dfrac{13\pi}{6}\)
👀 Solução passo a passo
1) Simplificar a expressão dentro da raiz:
Usando \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) e \(\cos(2x)=2\cos^2 x-1\), \[ f(x)=\sqrt{\frac{4\sin x\cos x+2\sin x-2\cos x-1}{8(2\cos^2 x)}} =\sqrt{\frac{(2\sin x-1)(2\cos x+1)}{16\cos^2 x}}. \] Como há raiz, precisamos do **radicando não negativo** e \(\cos x\neq 0\).
Usando \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\) e \(\cos(2x)=2\cos^2 x-1\), \[ f(x)=\sqrt{\frac{4\sin x\cos x+2\sin x-2\cos x-1}{8(2\cos^2 x)}} =\sqrt{\frac{(2\sin x-1)(2\cos x+1)}{16\cos^2 x}}. \] Como há raiz, precisamos do **radicando não negativo** e \(\cos x\neq 0\).
Figura 1 — Interseções correspondentes ao caso I.
Figura 2 — Interseções correspondentes ao caso II.
2) Condições de existência:
\[ \begin{cases} (2\sin x-1)(2\cos x+1)\ \ge 0,\\ \cos x\ne 0. \end{cases} \] O produto \(\ge 0\) acontece em dois casos:
I) \( \sin x \ge \tfrac{1}{2} \) e \( \cos x \ge -\tfrac{1}{2} \) com \(\cos x\ne 0\).
II) \( \sin x \le \tfrac{1}{2} \) e \( \cos x \le -\tfrac{1}{2} \) com \(\cos x\ne 0\).
\[ \begin{cases} (2\sin x-1)(2\cos x+1)\ \ge 0,\\ \cos x\ne 0. \end{cases} \] O produto \(\ge 0\) acontece em dois casos:
I) \( \sin x \ge \tfrac{1}{2} \) e \( \cos x \ge -\tfrac{1}{2} \) com \(\cos x\ne 0\).
II) \( \sin x \le \tfrac{1}{2} \) e \( \cos x \le -\tfrac{1}{2} \) com \(\cos x\ne 0\).
3) Interseções em \([-\pi,2\pi]\):
• Caso I \(\Rightarrow\) \(x\in \big[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\big)\ \cup\ \big(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3}\big]\).
• Caso II \(\Rightarrow\) \(x\in \big[-\pi,-\tfrac{2\pi}{3}\big]\ \cup\ \big[\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{4\pi}{3}\big]\). (Excluímos onde \(\cos x=0\): \(x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\).)
• Caso I \(\Rightarrow\) \(x\in \big[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\big)\ \cup\ \big(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3}\big]\).
• Caso II \(\Rightarrow\) \(x\in \big[-\pi,-\tfrac{2\pi}{3}\big]\ \cup\ \big[\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{4\pi}{3}\big]\). (Excluímos onde \(\cos x=0\): \(x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\).)
4) Escolher o intervalo de maior comprimento:
Entre os trechos acima, o maior é \[ I=\left(\frac{5\pi}{6},\ \frac{4\pi}{3}\right), \] totalmente contido em \([-\pi,2\pi]\).
Entre os trechos acima, o maior é \[ I=\left(\frac{5\pi}{6},\ \frac{4\pi}{3}\right), \] totalmente contido em \([-\pi,2\pi]\).
5) Soma \(a+b\):
\[ a+b=\frac{5\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+\frac{8\pi}{6} =\frac{13\pi}{6}. \] Alternativa correta: e).
\[ a+b=\frac{5\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+\frac{8\pi}{6} =\frac{13\pi}{6}. \] Alternativa correta: e).
