Questão 10 — ITA 2025 — 1ª Fase | Conteúdo: Polinômios • MDC de polinômios • Raízes comuns
Uma raiz comum aos polinômios \(p(x)=x^5-x^3+12x-18\) e \(q(x)=x^4-x^3+5x-3\) é:
👀 Solução passo a passo
1) Ideia: raízes comuns = raízes do mdc
Se \(p(x)=x^5-x^3+12x-18\) e \(q(x)=x^4-x^3+5x-3\), então as raízes comuns são as raízes do \(\gcd(p,q)\). Usamos o algoritmo de Euclides via divisões sucessivas.
2) Resto de \(p(x)\) por \(q(x)\)
Dividindo \(p\) por \(q\), o resto é
\[ r(x)= -5x^2 + 10x – 15. \]3) Verificar se \(r(x)\) divide \(q(x)\)
Dividindo \(q(x)\) por \(r(x)\) o resto é \(0\). Logo, \(\gcd(p,q)=r(x)\) (a menos de constante) e as raízes comuns de \(p\) e \(q\) são exatamente as raízes de \(r(x)\).
4) Resolver \(r(x)=0\)
\[
-5x^2 + 10x – 15 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2 – 2x + 3 = 0.
\]Discriminante: \(\Delta = (-2)^2 – 4\cdot 1 \cdot 3 = -8\). Assim,
\[ x=\frac{2\pm \sqrt{-8}}{2}=1\pm \sqrt{2}\,i. \]5) Conclusão
Raiz(zes) comum(ns): \(x=1\pm \sqrt{2}\,i\).
Gabarito: d).
Gabarito: d).
