Calcule a área da projeção ortogonal de um cubo de aresta \(2\) sobre um plano perpendicular a uma das diagonais do cubo.
👀 Solução passo a passo
Coloque o cubo com centro na origem e aresta \(2\): vértices \((\pm1,\pm1,\pm1)\). Tome o plano \(\alpha:\ x+y+z=0\), perpendicular ao vetor \(\vec n=(1,1,1)\), isto é, a uma diagonal espacial.
As projeções ortogonais de \((\pm1,\pm1,\pm1)\) sobre \(\alpha\) são dadas por \(\displaystyle v’ = v-\frac{v\cdot \vec n}{\|\vec n\|^2}\vec n\), com \(\|\vec n\|^2=3\).
Os vértices \(\pm(1,1,1)\) projetam-se no centro; os outros \(6\) vértices formam um hexágono regular por simetria.
Escolha vértices adjacentes, por exemplo \(v_1=(1,1,-1)\) e \(v_2=(1,-1,1)\). Suas projeções são \[ v_i’ = v_i-\frac{v_i\cdot (1,1,1)}{3}(1,1,1). \] O lado do hexágono é \(s=\|v_1′-v_2’\|\), e um cálculo direto dá \[ \boxed{s=\frac{2\sqrt{6}}{3}}. \]
Um hexágono regular de lado \(s\) pode ser decomposto em \(6\) triângulos equiláteros de lado \(s\):
\[ \text{Área} = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,s^{2}. \] Com \(s=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\Rightarrow s^2=\dfrac{8}{3}\), resulta \[ \text{Área}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{8}{3} = \boxed{4\sqrt{3}}. \]
