2ª Fase — Questão 05 | Logaritmos • Primeira cifra de potência
Usando as aproximações \( \log_{10}2 \approx 0{,}3010\), \( \log_{10}3 \approx 0{,}4771\) e \( \log_{10}7 \approx 0{,}8450\), determine o primeiro algarismo (da esquerda para a direita) do resultado de \(3^{100}\).
👀 Solução passo a passo
1) Logaritmo de \(3^{100}\)
\[
\log_{10}\!\left(3^{100}\right)=100\cdot \log_{10}3 \approx 100\cdot 0{,}4771 = 47{,}71.
\]Logo, \(3^{100}=10^{47{,}71}=10^{47}\cdot 10^{0{,}71}\).
2) Estimar \(10^{0{,}71}\) por comparação
Calculamos aproximações conhecidas:
\[ \log_{10}5 = \log_{10}10 – \log_{10}2 \approx 1 – 0{,}3010 = 0{,}6990 \ \Rightarrow\ 5 = 10^{0{,}6990}. \] \[ \log_{10}6 = \log_{10}2 + \log_{10}3 \approx 0{,}3010 + 0{,}4771 = 0{,}7781 \ \Rightarrow\ 6 = 10^{0{,}7781}. \]Como a função \(x\mapsto 10^x\) é estritamente crescente, temos
\[ 10^{0{,}6990} < 10^{0{,}71} < 10^{0{,}7781} \ \Longrightarrow\ 5 < 10^{0{,}71} < 6. \]3) Conclusão sobre a primeira cifra
Portanto, \[ 3^{100} = 10^{47}\cdot 10^{0{,}71} \in \big(5\cdot 10^{47},\ 6\cdot 10^{47}\big). \] O primeiro algarismo de \(3^{100}\) é \(5\).
Resposta: \(5\).
