Considere o polinômio \(p(x)=x^{3}+a\,x^{2}+b\). Determine os valores reais \(a\) e \(b\), sabendo que:
- \(p(x)\) tem uma raiz real dupla;
- Os pontos \((x_1,0)\), \((x_2,0)\) e \((0,b)\) são vértices de um triângulo retângulo, em que \(x_1\) e \(x_2\) são raízes distintas de \(p(x)\).
👀 Solução passo a passo
Seja \(x_1\) a raiz dupla e \(x_2\) a outra raiz. Por Vieta, para \(p(x)=x^3+a x^2+b\):
\[ x_1+x_1+x_2=-a,\qquad x_1^2+2x_1x_2=0,\qquad x_1^2x_2=-b. \tag{V} \]Da segunda relação: \(x_1(x_1+2x_2)=0\). Como \(x_1\neq 0\) (senão o triângulo degeneraria),
\[ x_1=-2x_2. \] Substituindo na soma: \(-2x_2-2x_2+x_2=-3x_2=-a\Rightarrow x_2=\frac{a}{3},\quad x_1=-\frac{2a}{3}. \]Da última relação de (V): \(-b=x_1^2x_2=\left(\frac{4a^2}{9}\right)\!\left(\frac{a}{3}\right)=\frac{4a^3}{27}\Rightarrow \boxed{\,b=-\dfrac{4a^3}{27}\,}.\)
Os vértices são \((-2a/3,0)\), \((a/3,0)\) e \((0,b)\). O ângulo reto deve estar em \((0,b)\) (os outros dois estão no eixo \(x\)).
Coeficientes angulares das retas que ligam \((0,b)\) aos pontos do eixo \(x\):
\[ m_1=\frac{0-b}{-2a/3-0}=\frac{3b}{2a},\qquad m_2=\frac{0-b}{a/3-0}=-\frac{3b}{a}. \]Perpendicularidade: \(m_1m_2=-1\Rightarrow -\frac{9b^2}{2a^2}=-1\Rightarrow b^2=\frac{2}{9}a^2.\)
De \(b=-\dfrac{4a^3}{27}\) e \(b^2=\dfrac{2}{9}a^2\):
\[ \frac{16a^6}{729}=\frac{2}{9}a^2 \ \Rightarrow\ a^4=\frac{81}{8} \ \Rightarrow\ a=\pm\frac{3\,\sqrt[4]{2}}{2}. \]Para cada sinal de \(a\):
\[ b=-\frac{4a^3}{27}= \begin{cases} -\dfrac{\sqrt[4]{8}}{2}, & a=+\dfrac{3\sqrt[4]{2}}{2},\\[8pt] \ \ \dfrac{\sqrt[4]{8}}{2}, & a=-\dfrac{3\sqrt[4]{2}}{2}. \end{cases} \]\(\displaystyle a=\frac{3\sqrt[4]{2}}{2},\ \ b=-\frac{\sqrt[4]{8}}{2}\) ou \(\displaystyle a=-\frac{3\sqrt[4]{2}}{2},\ \ b=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}.\)
