Logaritmo da potência
A propriedade do logaritmo da potência “traz o expoente para frente” e é onipresente em simplificações, mudanças de base e resolução de equações.
Fórmula
\( \displaystyle \log_a\!\big(x^{\,n}\big)=n\,\log_a x \quad\text{(com } a>0,\;a\neq1,\;x>0,\;n\in\mathbb{R}\text{)} \)
Intuição rápida
Se \(x=a^{u}\) (logo \(u=\log_a x\)), então \(x^{n}=(a^{u})^{n}=a^{un}\). Aplicando \(\log_a\): \(\log_a(x^{n})=un=n\,\log_a x\).
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Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — \( \log_2(8^3) \)
\(8=2^3 \Rightarrow \log_2(8^3)=\log_2(2^{9})=9\).
Aplicando diretamente: \(\log_2(8^3)=3\log_2 8=3\cdot 3=\boxed{9}\).
Exemplo 2 — Expandir \( \log_a\!\big(\sqrt[3]{x^5}\big) \)
\(\sqrt[3]{x^5}=x^{5/3}\Rightarrow \log_a(x^{5/3})=\tfrac{5}{3}\log_a x\).
Exemplo 3 — Resolver \( \log_3(x^2)=4 \) (domínio!)
\(2\log_3 x=4 \Rightarrow \log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9\).
Domínio: em \(\log_3(x^2)\) exige-se \(x\neq 0\) (pois \(x^2>0\)). A solução \(x=-9\) não aparece porque trabalhamos com \(\log_3 x\) após dividir por 2. Se mantivermos \(x^2=3^4\Rightarrow x=\pm 9\), ambas atendem ao log original. Conclusão: \(x=\pm9\).
Erros comuns
- Esquecer domínio: precisa de logaritmando positivo.
- Confundir \( \log_a(x^n) \) com \( (\log_a x)^n \) — não são iguais.
- Descartar raízes negativas quando a potência “mata o sinal” (veja o Exemplo 3).
Exercícios (com gabarito em “abre/fecha”)
Use \( \log_a(x^n)=n\log_a x \) e, quando útil, produto/quociente e mudança de base.
1) Calcule \( \log_5(25^4) \).
Ver resposta
\(\log_5(5^{2})^4=\log_5(5^{8})=8\).
2) Simplifique \( \log_a\!\big((a^3x)^2\big) \) (com \(x>0\)).
Ver resposta
\(\log_a(a^{6}x^{2})=\log_a a^{6}+\log_a x^{2}=6+2\log_a x\).
3) Expanda \( \log_a\!\left(\dfrac{x^{3/2}}{\sqrt[4]{y}}\right) \).
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\(\tfrac{3}{2}\log_a x-\tfrac{1}{4}\log_a y\). potência + quociente
4) Resolva \( \log_2(x^3)=7 \).
Ver resposta
\(3\log_2 x=7\Rightarrow \log_2 x=\tfrac{7}{3}\Rightarrow x=2^{7/3}=\sqrt[3]{2^{7}}.\) Mas pelo original \(x^3=2^7\Rightarrow x=\sqrt[3]{128}\) (única real).
5) Dado \( \log_{10}2=0{,}3010 \), estime \( \log_{10}(2^{5}) \).
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\(5\log 2=5\cdot 0{,}3010=1{,}505 \).
6) Se \( \log_a x=p \) e \( \log_a y=q \), então \( \log_a(x^2y^3) \)=?
Ver resposta
\(2p+3q\) (potência + produto).
7) Resolva \( \log_3(9x^2)=5 \).
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\(\log_3 9+2\log_3 x=5\Rightarrow 2+2\log_3 x=5\Rightarrow \log_3 x=\tfrac{3}{2}\Rightarrow x=3^{3/2}=3\sqrt{3}\). Pelo original \(9x^2=3^5\Rightarrow x=\pm 3\sqrt{3}\). Solução: \(x=\pm 3\sqrt{3}\).
8) (Múltipla escolha) \(\log_a\!\big(\sqrt{x}\,\,\big)\) é igual a:
- a) \( \log_a x \)
- b) \( \tfrac12 \log_a x \)
- c) \( 2\log_a x \)
- d) \( \log_a(x^2) \)
- e) \( \dfrac{\log_a x}{\log_a 2} \)
Ver resposta
b) \(\sqrt{x}=x^{1/2}\Rightarrow \log_a(x^{1/2})=\tfrac12\log_a x\).
9) (Múltipla escolha) \(\log_4(2^{12})=\)
- a) \(3\)
- b) \(6\)
- c) \(12\)
- d) \(24\)
- e) \( \dfrac{12}{\log_4 2} \)
Ver resposta
b) \(2^{12}=(4)^{6}\Rightarrow \log_4(4^6)=6\).
10) (Múltipla escolha) Para \(a>1, x>0\), qual é equivalente a \( \log_a(x^{-3}) \)?
- a) \( -3\log_a x \)
- b) \( 3\log_a x \)
- c) \( \dfrac{\log_a x}{-3} \)
- d) \( \log_a(-3x) \)
- e) \( \log_a(\tfrac{1}{x}) \)
Ver resposta
a) Pela potência: \( \log_a(x^{-3})=-3\log_a x \). A (e) seria \( -\log_a x \), não igual.
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