Mudança de Base de um Logaritmo
Em muitos cálculos, especialmente em provas de vestibulares, concursos e até no ENEM, é comum precisarmos calcular logaritmos em bases diferentes daquelas disponíveis na calculadora (geralmente base 10 e base \(e\)). Para isso, utilizamos a mudança de base.
Fórmula da mudança de base
Exemplo resolvido
Exemplo: Calcular \(\log_{2} 50\)
Pela fórmula: \[ \log_{2} 50 = \frac{\log_{10} 50}{\log_{10} 2} \] Usando aproximações: \(\log_{10} 50 \approx 1,6989\) e \(\log_{10} 2 \approx 0,3010\). Logo: \[ \log_{2} 50 \approx \frac{1,6989}{0,3010} \approx 5,64 \] Resposta: \(\log_{2} 50 \approx 5,64\).
Exercícios de Fixação
1) Escreva em base 10:
- a) \(\log_{3} 81\)
- b) \(\log_{5} 20\)
- c) \(\log_{7} 2\)
Resposta
a) \(\dfrac{\log_{10} 81}{\log_{10} 3} = 4\)
b) \(\dfrac{\log_{10} 20}{\log_{10} 5} \approx 1,86\)
c) \(\dfrac{\log_{10} 2}{\log_{10} 7} \approx 0,356\)
2) Resolva em base \(e\):
\(\log_{4} 50 = \dfrac{\ln 50}{\ln 4}\)
Resposta
\(\log_{4} 50 \approx \dfrac{3,912}{1,386} \approx 2,82\)3) (Vunesp) O valor de \(\log_{2} 1000\) é mais próximo de:
- a) 8,5
- b) 9,9
- c) 10,0
- d) 9,96
Resposta
\(\log_{2} 1000 = \dfrac{\log_{10} 1000}{\log_{10} 2} = \dfrac{3}{0,3010} \approx 9,96\) Alternativa d4) Calcule: \(\log_{5} 125\).
Resposta
\(\log_{5} 125 = \dfrac{\log_{10} 125}{\log_{10} 5} = \dfrac{3}{1} = 3\)5) (ENEM) Se \(\log_{3} 2 \approx 0,63\), o valor aproximado de \(\log_{9} 2\) é:
- a) 0,21
- b) 0,31
- c) 0,45
- d) 0,63
Resposta
\(\log_{9} 2 = \dfrac{\log_{3} 2}{\log_{3} 9} = \dfrac{0,63}{2} = 0,315\) Alternativa b📥 Material complementar
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Baixar agoraConclusão
A mudança de base é uma das propriedades mais práticas do estudo dos logaritmos. Ela conecta diferentes bases e permite que cálculos complicados se tornem acessíveis com ferramentas simples. Entender essa técnica é um passo fundamental para quem deseja dominar funções logarítmicas e resolver questões com eficiência.
