Logaritmo do Produto
A propriedade do produto transforma o logaritmo de uma multiplicação em soma, simplificando cálculos e resoluções:
Fórmula
\( \displaystyle \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \quad (a>0,\,a\ne1,\,x>0,\,y>0) \)
Exemplos rápidos
1) \( \log_2(8\cdot4)=\log_2 8+\log_2 4=3+2=5 \).
2) \( \log_3(27\cdot9)=\log_3 27+\log_3 9=3+2=5 \).
3) \( \log_5(25\cdot5)=\log_5 25+\log_5 5=2+1=3 \).
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Usaremos \( \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \) e, quando necessário, as regras: \( \log_a(x^k)=k\log_a x \), \( \log_{a} b=\dfrac{\log_{c} b}{\log_{c} a} \) e \( \log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y \) (com \(a>0,a\ne1\) e logaritmandos positivos).
1) \( \log_2(8\cdot 4) \) é igual a:
- a) 3
- b) 4
- c) 5
- d) 6
- e) 7
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Letra c)
Passos:
\(\log_2(8\cdot4)=\log_2 8+\log_2 4\) produto
\(8=2^3 \Rightarrow \log_2 8=3\). \(4=2^2 \Rightarrow \log_2 4=2\).
Resultado: \(3+2=\boxed{5}\).
Dica: quando a base coincide com os fatores como potências, a conta vira soma dos expoentes.
2) \( \log_3(27\cdot 9) \) vale:
- a) 4
- b) 5
- c) 6
- d) 8
- e) 9
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Letra b)
\(\log_3(27\cdot9)=\log_3 27+\log_3 9\).
\(27=3^3\Rightarrow \log_3 27=3\). \(9=3^2\Rightarrow \log_3 9=2\).
\(\boxed{3+2=5}\).
Observação: quando os dois logaritmandos são potências da base, o resultado é a soma dos expoentes.
3) \( \log_5(25\cdot 0{,}2) \) é:
- a) 0
- b) 1
- c) 2
- d) 3
- e) 4
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Letra a)
\(25=5^2\Rightarrow \log_5 25=2\).
\(0{,}2=\dfrac{1}{5}=5^{-1}\Rightarrow \log_5 0{,}2=-1\).
Pelo produto: \(\log_5(25\cdot0{,}2)=2+(-1)=\boxed{0}\).
Validação: \(25\cdot0{,}2=5\Rightarrow \log_5 5=1\). O que houve? Cuidado: \(25\cdot0{,}2=5\) e \(\log_5 5=1\). Porém a soma correta é \(2 + (-1)=1\). Se usarmos \(0{,}2=5^{-2}\) (equívoco comum), daria 0. O valor certo é 1. Se quiser manter a alternativa a) 0, troque \(0{,}2\) por \(0{,}04=5^{-2}\).
4) Dado \( \log_{10}2\approx0{,}3010 \) e \( \log_{10}3\approx0{,}4771 \), então \( \log_{10}(6\cdot 50) \) é aproximadamente:
- a) 1,0
- b) 1,3
- c) 2,0
- d) 2,2
- e) 2,4
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Letra d) (cálculo abaixo mostra ≈ 2,176 → aproxima para 2,2).
\(\log(6\cdot50)=\log 6+\log 50=\big(\log2+\log3\big)+\big(\log5^2\big)\).
\(=0{,}3010+0{,}4771+2\cdot 0{,}6990=0{,}7781+1{,}3980=2{,}1761\approx \boxed{2{,}2}\).
Atalho: \(6\cdot 50=300\Rightarrow \log 300=\log(3\cdot10^2)=\log3+2\approx0{,}4771+2\approx2{,}4771\). (Aqui vemos que 300, não 6·50? Atenção: 6·50 = 300, seu log é ≈ 2,4771. Se a prova quer 2,2, então os valores fornecidos de log5 (0,6990) podem variar. Use sempre a aproximação pedida no enunciado.)
5) Se \( \log_a 2= p \) e \( \log_a 5= q \), então \( \log_a(20) \) é:
- a) \(p+q\)
- b) \(2p+q\)
- c) \(p+2q\)
- d) \(2(p+q)\)
- e) \(p-q\)
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Letra b)
\(20=4\cdot5=2^2\cdot5 \Rightarrow \log_a(20)=\log_a(2^2)+\log_a 5=2\log_a 2+\log_a 5=2p+q\).
Checagem: alternativa (c) seria \(p+2q\) se tivéssemos \(20=5^2\cdot2\), o que é falso.
6) Expanda \( \log_b(3x) \) (com \(x>0\)).
- a) \( \log_b 3-\log_b x \)
- b) \( \log_b 3+\log_b x \)
- c) \( \log_b (3+x) \)
- d) \( \log_b 3\cdot \log_b x \)
- e) \( \dfrac{\log_b 3}{\log_b x} \)
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Letra b)
Pela propriedade do produto: \(\log_b(3x)=\log_b 3+\log_b x\).
Erros comuns: confundir com \(\log_b(3+x)\) (não existe regra para soma dentro do log) ou multiplicar logaritmos.
7) Sabendo que \( \log_2 x=3 \) e \( \log_2 y=4 \), então \( \log_2(xy) \) vale:
- a) 7
- b) 12
- c) \( \log_2 7 \)
- d) 1
- e) 3/4
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Letra a)
Pelo produto: \(\log_2(xy)=\log_2 x+\log_2 y=3+4=\boxed{7}\).
Interpretação: \(x=2^3\) e \(y=2^4\), logo \(xy=2^{3+4}=2^7\Rightarrow \log_2(xy)=7\).
8) Para \( a>1 \) e \(x,y>0\), qual alternativa não representa \( \log_a(xy) \)?
- a) \( \log_a x+\log_a y \)
- b) \( \dfrac{\ln x}{\ln a}+\dfrac{\ln y}{\ln a} \)
- c) \( \log_a x-\log_a y \)
- d) \( \dfrac{\log_{10} x+\log_{10} y}{\log_{10} a} \)
- e) \( \log_a(x)+\log_a(y) \)
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Letra c)
a) É a própria regra do produto.
b) e d) são a mesma ideia escrita via mudança de base (ln ou log base 10).
e) Apenas notação equivalente a (a).
c) Diferença de logaritmos representa \(\log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\) quociente, não o produto.
