Logaritmo do quociente
A propriedade do quociente transforma o logaritmo de uma divisão em diferença de logaritmos. Ela é par da regra do produto e aparece em simplificações, equações logarítmicas e mudanças de base.
Fórmula
\( \displaystyle \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y \quad\text{(com } a>0,\;a\neq1,\;x>0,\;y>0\text{)} \)
Por que funciona?
Se \(x=a^{u}\) e \(y=a^{v}\) (isto é, \(u=\log_a x\) e \(v=\log_a y\)), então \(x/y=a^{u}/a^{v}=a^{u-v}\). Aplicando logaritmo na base \(a\): \(\log_a(x/y)=u-v=\log_a x-\log_a y\).
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Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — \( \log_2\!\left(\dfrac{32}{8}\right) \)
\(\log_2 32-\log_2 8=5-3=\boxed{2}\).
Exemplo 2 — \( \log_3\!\left(\dfrac{81}{\;9}\right) \)
\( \log_3 81-\log_3 9=4-2=\boxed{2}\).
Exemplo 3 — Expandir \( \log_a\!\left(\dfrac{25x^3}{5y}\right) \)
\( \log_a 25+\log_a x^3-\log_a 5-\log_a y =\log_a 5^2+3\log_a x-\log_a 5-\log_a y =\boxed{\log_a 5+3\log_a x-\log_a y}. \)
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Erros comuns
- Trocar “divisão dentro do log” por “divisão entre logaritmos”: \(\log_a(x/y)\neq \dfrac{\log_a x}{\log_a y}\).
- Esquecer as condições: base \(a>0\), \(a\neq1\) e logaritmandos \(x,y>0\).
- Confundir com produto: \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\).
Questões de múltipla escolha — Logaritmo do quociente
Use \( \log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y \) e, quando necessário, \( \log_a(x^k)=k\log_a x \) e mudança de base.
1) \( \log_2\!\left(\dfrac{32}{8}\right) \) vale:
- a) 1
- b) 2
- c) 3
- d) 4
- e) 5
Ver resposta
b) \( \log_2 32-\log_2 8=5-3=2 \).
2) \( \log_3\!\left(\dfrac{81}{9}\right)= \)
- a) 1
- b) 2
- c) 3
- d) 4
- e) 5
Ver resposta
b) \(4-2=2\).
3) Dado \( \log_{10}2=0{,}3010 \) e \( \log_{10}5=0{,}6990 \), então \( \log_{10}\!\left(\dfrac{20}{5}\right)= \)
- a) 0,3010
- b) 0,3980
- c) 0,6020
- d) 1,0000
- e) 1,3010
Ver resposta
c) \(\log 20-\log 5=(\log2+1)-0{,}6990=0{,}3010+1-0{,}6990=0{,}6020\).
4) Para \(x>0\), \( \log_a\!\left(\dfrac{x^4}{\sqrt{x}}\right) \) é igual a:
- a) \( \tfrac{7}{2}\log_a x \)
- b) \( \tfrac{9}{2}\log_a x \)
- c) \( \tfrac{5}{2}\log_a x \)
- d) \( \tfrac{3}{2}\log_a x \)
- e) \( 4\log_a x-\tfrac12 \)
Ver resposta
a) \( \log_a x^4-\log_a x^{1/2}=4\log_a x-\tfrac12\log_a x=\tfrac{7}{2}\log_a x \). quociente + potência
5) Se \( \log_a2=p \) e \( \log_a3=q \), então \( \log_a\!\left(\dfrac{12}{3}\right)= \)
- a) \(p\)
- b) \(2p\)
- c) \(2p+q\)
- d) \(p+q\)
- e) \(2q-p\)
Ver resposta
b) \(\log_a12-\log_a3=\log_a(2^2\cdot3)-q=2p+q-q=2p\).
6) \( \log_5\!\left(\dfrac{125\cdot x}{5y}\right) \) pode ser escrito como:
- a) \( \log_5 x-\log_5 y \)
- b) \( 2+\log_5 x-\log_5 y \)
- c) \( 3+\log_5 x-\log_5 y \)
- d) \( 3+\log_5 x+\log_5 y \)
- e) \( 2+\log_5 x+\log_5 y \)
Ver resposta
b) \( \log_5 125+\log_5 x-\log_5 5-\log_5 y=3+\log_5 x-1-\log_5 y=2+\log_5 x-\log_5 y\).
7) Qual alternativa não é equivalente a \( \log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right) \)?
- a) \( \log_a x-\log_a y \)
- b) \( \dfrac{\ln x-\ln y}{\ln a} \)
- c) \( \dfrac{\log_{10} x}{\log_{10} y} \)
- d) \( \log_a x+\log_a (y^{-1}) \)
- e) \( \log_a(x\cdot y^{-1}) \)
Ver resposta
c) \(\dfrac{\log_{10} x}{\log_{10} y}\) não representa quociente dentro do log. As demais são formas equivalentes (diferença, potência negativa, mudança de base).
8) Se \( \log_4 x=3 \) e \( \log_4 y=1 \), então \( \log_4\!\left(\dfrac{x}{y}\right)= \)
- a) 2
- b) 3
- c) 4
- d) 1
- e) 0
Ver resposta
a) \(3-1=2\).
9) Para \(x>0\) e \(y>0\), a expressão \( \log_a\!\left(\dfrac{x^2y}{\;x\;}\right) \) é:
- a) \( \log_a y \)
- b) \( \log_a x+\log_a y \)
- c) \( \log_a x-\log_a y \)
- d) \( \log_a x+\tfrac12\log_a y \)
- e) \( 2\log_a x-\log_a x+\log_a y \)
Ver resposta
b) \( \log_a x^2+\log_a y-\log_a x=2\log_a x+\log_a y-\log_a x=\log_a x+\log_a y\).
10) Resolva: \( \log_3\!\left(\dfrac{x}{9}\right)=\dfrac12 \).
- a) \(x=3\)
- b) \(x=9\)
- c) \(x=\sqrt{3}\)
- d) \(x=9\sqrt{3}\)
- e) \(x=\dfrac{9}{2}\)
Ver resposta
\(\log_3 x-\log_3 9=\tfrac12 \Rightarrow \log_3 x-2=\tfrac12 \Rightarrow \log_3 x=\tfrac52 \Rightarrow x=3^{5/2}=9\sqrt{3}\). Alternativa (d).
Quer mais prática? Veja também os exercícios de logaritmos e o resumo de propriedades.
