Mudança de Base com Intermediário
A mudança de base com intermediário permite reescrever um logaritmo em termos de duas bases convenientes. É especialmente útil quando desejamos combinar resultados já conhecidos ou trabalhar com bases “amigáveis” em provas e concursos.
Enunciado
\( \displaystyle \log_a b \;=\; \log_c b \,\cdot\, \log_a c \quad \text{com } a>0,\; a\neq1,\; b>0,\; c>0,\; c\neq1. \)
Como demonstrar rapidamente?
Pela mudança de base usual, \( \log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \). Já \( \log_a c = \dfrac{\log_c c}{\log_c a}=\dfrac{1}{\log_c a} \). Logo, \( \log_c b \cdot \log_a c = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b \).
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Calcule \( \log_{2} 9 \) usando base intermediária \(c=3\).
\( \log_{2} 9 = \log_{3} 9 \cdot \log_{2} 3 = 2 \cdot \log_{2} 3 \). Como \( \log_{2} 3 \approx 1{,}585 \), então \( \log_{2} 9 \approx 2 \cdot 1{,}585 = \mathbf{3{,}17} \).
Exemplo 2 — Avalie \( \log_{5} 8 \) usando base intermediária \(c=2\).
\( \log_{5} 8 = \log_{2} 8 \cdot \log_{5} 2 = 3 \cdot \log_{5} 2 \). Pela mudança de base, \( \log_{5} 2 = \dfrac{\log 2}{\log 5} \approx \dfrac{0{,}3010}{0{,}6990} \approx 0{,}4307 \). Assim, \( \log_{5} 8 \approx 3 \cdot 0{,}4307 = \mathbf{1{,}292} \).
Exemplo 3 — Mostre que \( \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1 \).
Use a fórmula com intermediário ou a mudança de base clássica: \( \log_a b = \dfrac{\log c}{\log a} \), \( \log_b c = \dfrac{\log c}{\log b} \), \( \log_c a = \dfrac{\log a}{\log c} \) (para qualquer base comum \( \log \)). Multiplicando, os termos cancelam e obtemos \( \mathbf{1} \).
Exercícios de múltipla escolha
1) Usando base intermediária \(c=2\), o valor aproximado de \( \log_{4} 9 \) é:
- a) \(2{,}50\)
- b) \(3{,}17\)
- c) \(1{,}58\)
- d) \(1{,}90\)
Ver solução
\( \log_{4} 9 = \log_{2} 9 \cdot \log_{4} 2 \). Como \( \log_{2} 9 \approx 3{,}17 \) e \( \log_{4} 2 = \tfrac{1}{\log_{2} 4}=\tfrac{1}{2}=0{,}5 \), então \( \log_{4} 9 \approx 3{,}17 \cdot 0{,}5 = \mathbf{1{,}585} \approx \) alternativa c.
2) Com base intermediária \(c=10\), estime \( \log_{7} 5 \).
- a) \(0{,}827\)
- b) \(0{,}699\)
- c) \(0{,}845\)
- d) \(1{,}000\)
Ver solução
\( \log_{7} 5 = \log_{10} 5 \cdot \log_{7} 10 \). Sabendo \( \log_{10} 5 \approx 0{,}6990 \) e \( \log_{7} 10 = \dfrac{\log 10}{\log 7} \approx \dfrac{1}{0{,}8451} \approx 1{,}184 \), obtemos \( \log_{7} 5 \approx 0{,}6990 \cdot 1{,}184 \approx \mathbf{0{,}827} \). Alternativa a.
3) Usando \(c=2\), calcule \( \log_{3} 16 \) (aprox.).
- a) \(4{,}00\)
- b) \(2{,}52\)
- c) \(3{,}45\)
- d) \(5{,}12\)
Ver solução
\( \log_{3} 16 = \log_{2} 16 \cdot \log_{3} 2 = 4 \cdot \dfrac{1}{\log_{2} 3} \). Como \( \log_{2} 3 \approx 1{,}585 \), então \( \log_{3} 16 \approx 4 \cdot 0{,}631 = \mathbf{2{,}52} \). Alternativa b.
Leituras internas recomendadas (SEO)
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- Reciprocidade dos logaritmos: \( \log_a c = \frac{1}{\log_c a} \)
- Propriedade fundamental: \( a^{\log_a x}=x \)
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