6. Lógica Proposicional
A Lógica Proposicional é a parte da lógica que trabalha com proposições, ou seja, sentenças declarativas que podem ser verdadeiras (V) ou falsas (F). Ela utiliza símbolos e conectivos lógicos para estruturar proposições simples e compostas, permitindo a análise e a dedução lógica de conclusões.
6.1 Proposições Simples e Compostas
- Proposição simples: Sentença com apenas uma ideia, podendo ser verdadeira ou falsa.
Exemplo:- “O sol está brilhando.” (p)
- Proposição composta: Formada por proposições simples conectadas por conectivos lógicos.
Exemplo:- “O sol está brilhando e o céu está limpo.” (p∧q)
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6.2 Conectivos Lógicos
Os principais conectivos lógicos utilizados na Lógica Proposicional são:
Conjunção (∧) – E
- A conjunção só é verdadeira quando todas as proposições são verdadeiras.
Exemplo:
- p: “João passou na prova.”
- q: “Maria estudou muito.
- “Proposição: “João passou na prova e Maria estudou muito”
- (p∧q).
| p | q | p∧q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Disjunção (∨) – OU
- A disjunção é falsa apenas quando todas as proposições são falsas.
Exemplo:
- “João passou na prova ou Maria estudou muito”
- (p∨q).
| p | q | p∨q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Disjunção Exclusiva (⊻) – OU…OU
- A disjunção exclusiva é verdadeira apenas quando uma proposição é verdadeira e a outra é falsa.
Exemplo:“
- Ou João passou na prova ou Maria estudou muito”
- (p⊻q).
| p | q | p⊻q |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Condicional (→) – SE…ENTÃO
- A condicional é falsa apenas quando a primeira proposição (p) é verdadeira e a segunda (q) é falsa.
Exemplo:
- “Se João estudou, então ele passou na prova”
- (p→q).
| p | q | p→q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Bicondicional (↔) – SE E SOMENTE SE
- A bicondicional é verdadeira apenas quando as duas proposições têm o mesmo valor lógico.
Exemplo:
- “João passou na prova se e somente se ele estudou”
| p | q | p↔q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
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6.3 Tabela-Verdade e Valor Lógico
A tabela-verdade é uma ferramenta usada para analisar todas as possibilidades de valor lógico em proposições compostas. Com ela, é possível determinar:
- Se uma proposição é sempre verdadeira (tautologia).
- Se é sempre falsa (contradição).
- Se pode ser verdadeira ou falsa (contingência).
Exemplo: Construir a tabela-verdade para (p∧q)→r
| p | q | r | p∧q | (p∧q)→r |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F |
| V | F | V | F | V |
| V | F | F | F | V |
| F | V | V | F | V |
| F | V | F | F | V |
| F | F | V | F | V |
| F | F | F | F | V |
6.4 Equivalências Lógicas
Proposições compostas podem ser transformadas em proposições equivalentes, que possuem o mesmo valor lógico.
- Equivalência da condicional: p→q ≡ ¬p∨q
- Contrapositiva da condicional: p→q ≡ ¬q→¬p
Exemplo:
- “Se João estudou, então ele passou” (p→q).
- Equivalente: “João não estudou ou ele passou” (¬p∨q).
6.5 Exercícios de Aplicação
Exemplo 1: Identifique a negação da proposição: “João estudou e passou na prova.”
Resolução:
- Proposição original: p∧q.
- Negação usando a Lei de De Morgan: ¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q
- Negação: “João não estudou ou não passou na prova.”
Exemplo 2: Determine a contraposita da proposição: “Se Maria trabalha, então ela ganha dinheiro.”
Resolução:
- Proposição original: p→q, com:
- p: “Maria trabalha.”
- q: “Ela ganha dinheiro.”
- Contraposita: ¬q→¬p
- Resultado: “Se Maria não ganha dinheiro, então ela não trabalha.”
Conclusão
A lógica proposicional é a base para resolver problemas de raciocínio lógico em concursos dentro da Matemática. Dominar as tabelas-verdade, os conectivos lógicos e as equivalências é fundamental para interpretar proposições e suas relações de forma estruturada e precisa.
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