Matemática ENEM 2020

Azulejo designa peça de cerâmica vitrificada e/ou esmaltada usada, sobretudo, no revestimento de paredes. A origem das técnicas de fabricação de azulejos é oriental, mas sua expansão pela Europa traz consigo uma diversificação de estilos, padrões e usos, que podem ser decorativos, utilitários e arquitetônicos.

Disponível em: http://www.itaucultural.org.br. Acesso em: 31 jul. 2012.

Azulejos no formato de octógonos regulares serão utilizados para cobrir um painel retangular conforme ilustrado na figura.

Painel retangular com azulejos em forma de octógonos regulares deixando lacunas nos cantos laterais — Painel com octógonos regulares e lacunas nas bordas laterais.

Entre os octógonos e a borda lateral dessa área, será necessária a colocação de 15 azulejos de outros formatos para preencher os espaços em branco do painel. Uma loja oferece azulejos nos seguintes formatos:

1 — Triângulo retângulo isósceles; 2 — Triângulo equilátero; 3 — Quadrado.

Os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são

1.
3.
1 e 2.
1 e 3.
2 e 3.

Mostrar / esconder solução passo a passo

1) Ângulos do octógono regular Ângulo interno: \[ \alpha = \frac{180^\circ (n-2)}{n} = \frac{180^\circ(8-2)}{8}=135^\circ. \] Logo, o ângulo externo de cada vértice é \(180^\circ-135^\circ=45^\circ\).

2) Geometria das lacunas As lacunas nas bordas surgem da junção de dois vértices adjacentes de octógonos (\(45^\circ+45^\circ\)) com a borda do painel, formando um triângulo com dois ângulos de \(45^\circ\) e o terceiro de \(90^\circ\): triângulo retângulo isósceles (formato 1).

3) Regiões quadriláteras Em algumas posições, dois desses triângulos complementares se juntam, formando um quadrilátero com quatro ângulos retos (\(90^\circ\)), isto é, um quadrado (formato 3). Triângulo equilátero (formato 2, ângulos de \(60^\circ\)) não aparece nessas combinações.

Gabarito: letra D — formatos 1 (triângulo retângulo isósceles) e 3 (quadrado).

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