Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo \(\Delta\) e estrela \(*\), definidas sobre o conjunto dos números reais por \(x\Delta y=x^{2}+xy-y^{2}\) e \(x*y=x+y+xy\).
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada \(b\), que irá gerar um valor de saída \(a\), a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação \((a\Delta b)*(b\Delta a)=0\). Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada \(b=1\). Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
- \( \sqrt{5} \)
- \( \sqrt{3} \)
- \( \sqrt{1} \)
- \( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \)
- \( \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \)
Mostrar / esconder solução passo a passo
\[ a\Delta 1=a^{2}+a-1,\qquad 1\Delta a=1+a-a^{2}. \] Como \(x*y=x+y+xy\), então \[ (a\Delta 1)*(1\Delta a)= (a^{2}+a-1)+(1+a-a^{2})+(a^{2}+a-1)(1+a-a^{2}). \] Igualando a zero e simplificando, obtém-se \[ (a^{2}+a-1)(a^{2}-a-2)=0. \]
\[ a^{2}+a-1=0 \;\Rightarrow\; a=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2},\qquad a^{2}-a-2=0 \;\Rightarrow\; a=2\ \text{ou}\ a=-1. \] As quatro soluções reais são \[ \left\{-1,\;2,\;\frac{-1-\sqrt5}{2},\;\frac{-1+\sqrt5}{2}\right\}. \]
As duas maiores são \(2\) e \(\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\). \[ S = 2+\frac{-1+\sqrt5}{2}=\frac{3+\sqrt5}{2}. \] Gabarito: Alternativa E.
