Questão 41
Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos \(L\) metro e \(C\) metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes.
Nos lados de comprimento \(L\) metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R$ 20,00, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00. O fazendeiro quer gastar, no máximo, R$ 6.000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
- A) 85
- B) 100
- C) 175
- D) 200
- E) 350
1. Cálculo do custo:
Custo total da cerca: \[ C = 2L \cdot 20 + 2C \cdot 15 = 40L + 30C = 6000 \]
Isolando uma variável: \( C = \frac{6000 – 40L}{30} \)
2. Área do galinheiro:
\[ A = L \cdot C = L \cdot \left(\frac{6000 – 40L}{30}\right) \]
\[ A = \frac{L(6000 – 40L)}{30} = \frac{6000L – 40L^2}{30} \]
Máximo da parábola ocorre em: \[ L = -\frac{b}{2a} = -\frac{6000}{2(-40)} = 75 \]
Substituindo em \(C = \frac{6000 – 40L}{30}\): \[ C = \frac{6000 – 40 \cdot 75}{30} = \frac{6000 – 3000}{30} = 100 \]
O maior lado é: \(\boxed{100}\)
Resposta correta: alternativa B
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