ITA 2020 — 2ª Fase — Questão 1 — Circunferência e Quadrado
Seja \(\lambda\) a circunferência que passa pelos pontos \(P=(1,1)\), \(Q=(13,1)\) e \(R=(7,9)\).
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a) Determine a equação de \(\lambda\).
b) Os vértices do quadrado \(ABCD\) circunscrito a \(\lambda\), sabendo que \(R\) é o ponto médio de \(\overline{AB}\).
👀 Solução passo a passo
a) Centro e raio da circunferência
Os pontos \(P\) e \(Q\) têm a mesma ordenada, logo o mediatriz de \(\overline{PQ}\) é a reta vertical \(x=7\) (ponto médio \(M=(7,1)\)). Portanto, o centro \(O’\) de \(\lambda\) tem abscissa \(7\): \(O’=(7,y_0)\).
Como \(\lambda\) também passa por \(R=(7,9)\), o raio satisfaz \[ r^2=O’R^2=(y_0-9)^2. \] Por outro lado, \[ r^2=O’P^2=(7-1)^2+(y_0-1)^2=36+(y_0-1)^2. \] Igualando: \[ 36+(y_0-1)^2=(y_0-9)^2 \ \Rightarrow\ -2y_0+37=-18y_0+81 \ \Rightarrow\ 16y_0=44 \ \Rightarrow\ y_0=\frac{11}{4}. \] Logo \[ O’=\left(7,\frac{11}{4}\right),\qquad r=|9-\tfrac{11}{4}|=\frac{25}{4}. \] Equação de \(\lambda\): \[ \boxed{(x-7)^2+\left(y-\frac{11}{4}\right)^2=\left(\frac{25}{4}\right)^2} \quad\left(=\frac{625}{16}\right). \]
b) Quadrado \(ABCD\) circunscrito a \(\lambda\)
Se a circunferência é inscrita no quadrado, então o lado do quadrado é \(s=2r=2\cdot\frac{25}{4}=\frac{25}{2}\). Como o centro do quadrado coincide com \(O’\), as retas suporte dos lados são: \[ y= \frac{11}{4}\pm \frac{25}{4}\ \Rightarrow\ y_{\text{topo}}=9,\quad y_{\text{base}}=-\frac{7}{2}; \] \[ x= 7\pm \frac{25}{4}\ \Rightarrow\ x_{\text{esq}}=\frac{3}{4},\quad x_{\text{dir}}=\frac{53}{4}. \] Como \(R=(7,9)\) é o ponto médio do lado superior \(\overline{AB}\), temos: \[ A=\left(\frac{3}{4},\,9\right),\qquad B=\left(\frac{53}{4},\,9\right),\qquad C=\left(\frac{53}{4},\,-\frac{7}{2}\right),\qquad D=\left(\frac{3}{4},\,-\frac{7}{2}\right). \] (Cheque: o ponto médio de \(A\) e \(B\) é \(\big(\tfrac{3/4+53/4}{2},9\big)=(7,9)=R\).)
Os pontos \(P\) e \(Q\) têm a mesma ordenada, logo o mediatriz de \(\overline{PQ}\) é a reta vertical \(x=7\) (ponto médio \(M=(7,1)\)). Portanto, o centro \(O’\) de \(\lambda\) tem abscissa \(7\): \(O’=(7,y_0)\).
Como \(\lambda\) também passa por \(R=(7,9)\), o raio satisfaz \[ r^2=O’R^2=(y_0-9)^2. \] Por outro lado, \[ r^2=O’P^2=(7-1)^2+(y_0-1)^2=36+(y_0-1)^2. \] Igualando: \[ 36+(y_0-1)^2=(y_0-9)^2 \ \Rightarrow\ -2y_0+37=-18y_0+81 \ \Rightarrow\ 16y_0=44 \ \Rightarrow\ y_0=\frac{11}{4}. \] Logo \[ O’=\left(7,\frac{11}{4}\right),\qquad r=|9-\tfrac{11}{4}|=\frac{25}{4}. \] Equação de \(\lambda\): \[ \boxed{(x-7)^2+\left(y-\frac{11}{4}\right)^2=\left(\frac{25}{4}\right)^2} \quad\left(=\frac{625}{16}\right). \]
b) Quadrado \(ABCD\) circunscrito a \(\lambda\)
Se a circunferência é inscrita no quadrado, então o lado do quadrado é \(s=2r=2\cdot\frac{25}{4}=\frac{25}{2}\). Como o centro do quadrado coincide com \(O’\), as retas suporte dos lados são: \[ y= \frac{11}{4}\pm \frac{25}{4}\ \Rightarrow\ y_{\text{topo}}=9,\quad y_{\text{base}}=-\frac{7}{2}; \] \[ x= 7\pm \frac{25}{4}\ \Rightarrow\ x_{\text{esq}}=\frac{3}{4},\quad x_{\text{dir}}=\frac{53}{4}. \] Como \(R=(7,9)\) é o ponto médio do lado superior \(\overline{AB}\), temos: \[ A=\left(\frac{3}{4},\,9\right),\qquad B=\left(\frac{53}{4},\,9\right),\qquad C=\left(\frac{53}{4},\,-\frac{7}{2}\right),\qquad D=\left(\frac{3}{4},\,-\frac{7}{2}\right). \] (Cheque: o ponto médio de \(A\) e \(B\) é \(\big(\tfrac{3/4+53/4}{2},9\big)=(7,9)=R\).)
Resultado: \(\ (x-7)^2+\big(y-\tfrac{11}{4}\big)^2=\big(\tfrac{25}{4}\big)^2\) e
\(A\!\left(\tfrac{3}{4},9\right)\), \(B\!\left(\tfrac{53}{4},9\right)\),
\(C\!\left(\tfrac{53}{4},-\tfrac{7}{2}\right)\), \(D\!\left(\tfrac{3}{4},-\tfrac{7}{2}\right)\).
🔗 Veja também:
Matemática ITA 2020 — Questão 55 — 1ª Fase
