Matemática ITA 2020: Questão 47 — 1ª Fase

1) Transformação da equação
Da identidade de soma-produto, para quaisquer \(u,v\), \[ 2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v). \] Tomando \(u=a+x\) e \(v=x\), obtemos \[ 2\cos x\,\sin(a+x)=\sin\big((a+x)+x\big)+\sin\big((a+x)-x\big) =\sin(2x+a)+\sin a. \] A equação do enunciado \(\cos x\,\sin(a+x)=\sin a\) é então equivalente a \[ \sin(2x+a)+\sin a=2\sin a \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ \sin(2x+a)=\sin a\ }. \] (Não há perda de soluções aqui: a identidade vale para todo \(x\).)2) Resolvendo \(\sin(2x+a)=\sin a\)
Para números reais \(U,V\), \(\sin U=\sin V\) se e somente se \[ \text{ou } \ U=V+2k\pi \quad\text{ou}\quad U=\pi-V+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}. \] Aplicando com \(U=2x+a\) e \(V=a\), obtemos duas famílias:Família I: \(2x+a=a+2k\pi \Rightarrow 2x=2k\pi \Rightarrow \boxed{x=k\pi}\).
Família II: \(2x+a=\pi-a+2k\pi \Rightarrow 2x=\pi-2a+2k\pi \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{\pi}{2}-a+k\pi}\).3) Filtrando as soluções em \([0,2\pi]\)
Como \(0

Família I: \(x=k\pi \in[0,2\pi]\) para \(k=0,1,2\), isto é \(x=\{0,\pi,2\pi\}\).

Família II: \(x=\dfrac{\pi}{2}-a+k\pi\).

• Para \(k=0\): \(x_1=\dfrac{\pi}{2}-a\in(0,\dfrac{\pi}{2})\subset[0,2\pi]\).
• Para \(k=1\): \(x_2=\dfrac{3\pi}{2}-a\in(\pi,\dfrac{3\pi}{2})\subset[0,2\pi]\).
• Para \(k=-1\): \(x=\!-\dfrac{\pi}{2}-a<0\) (fora do intervalo).
• Para \(k=2\): \(x=\dfrac{5\pi}{2}-a>2\pi\) (fora do intervalo).

Logo, desta família entram exatamente dois valores: \(\dfrac{\pi}{2}-a\) e \(\dfrac{3\pi}{2}-a\).

4) Verificando duplicações/impossibilidades
Nenhuma das soluções coincide entre si, pois isso exigiria, por exemplo, \(\dfrac{\pi}{2}-a\in\{0,\pi,2\pi\}\) ou \(\dfrac{3\pi}{2}-a\in\{0,\pi,2\pi\}\), o que implicaria \(a\in\{\dfrac{\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\}\), todos fora de \(0cinco soluções distintas em \([0,2\pi]\): \[ \{\,0,\ \pi,\ 2\pi,\ \tfrac{\pi}{2}-a,\ \tfrac{3\pi}{2}-a\,\}. \]5) Soma pedida
\[ \sum = (0+\pi+2\pi)+\left(\frac{\pi}{2}-a\right)+\left(\frac{3\pi}{2}-a\right) =3\pi+\left(2\pi-2a\right)=\boxed{\,5\pi-2a\,}. \]

Resposta: E) \(\displaystyle 5\pi-2a\).