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ITA 2024 — 2ª Fase — Questão 03 — Logaritmos
Determine todos os valores reais de \(x\) para os quais
\[
\bigl|\log_{1/2} |x| \bigr| + \bigl|\log_{2} |x| \bigr| < 4 .
\]
👀 Solução passo a passo
1) Mudar a base do primeiro logaritmo:
\[ \log_{1/2}|x|=\frac{\ln|x|}{\ln(1/2)}=-\,\frac{\ln|x|}{\ln 2}=-\log_2|x|. \] Portanto, \[ \bigl|\log_{1/2}|x|\bigr|=\bigl|-\log_2|x|\bigr|=\bigl|\log_2|x|\bigr|. \] Logo a desigualdade fica \[ 2\,\bigl|\log_2|x|\bigr|<4 \;\;\Longrightarrow\;\; \bigl|\log_2|x|\bigr|<2. \] 2) Eliminar o valor absoluto:
\[ -2<\log_2|x|<2 \;\;\Longrightarrow\;\; 2^{-2}<|x|<2^{2} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac14<|x|<4. \] Como \(|x|>0\), automaticamente \(x\neq 0\).
\[ \log_{1/2}|x|=\frac{\ln|x|}{\ln(1/2)}=-\,\frac{\ln|x|}{\ln 2}=-\log_2|x|. \] Portanto, \[ \bigl|\log_{1/2}|x|\bigr|=\bigl|-\log_2|x|\bigr|=\bigl|\log_2|x|\bigr|. \] Logo a desigualdade fica \[ 2\,\bigl|\log_2|x|\bigr|<4 \;\;\Longrightarrow\;\; \bigl|\log_2|x|\bigr|<2. \] 2) Eliminar o valor absoluto:
\[ -2<\log_2|x|<2 \;\;\Longrightarrow\;\; 2^{-2}<|x|<2^{2} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac14<|x|<4. \] Como \(|x|>0\), automaticamente \(x\neq 0\).
Conjunto solução: \(\;x\in(-4,-\tfrac14)\,\cup\,(\tfrac14,4)\).
