ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 48 — Polinômios
Considere o polinômio \(p(x)=x^{3}-m x^{2}+x+5+n\), sendo \(m,n\in\mathbb{R}\) fixos.
Sabe-se que toda raiz \(z=a+bi\) (com \(a,b\in\mathbb{R}\)) da equação \(p(z)=0\) satisfaz a igualdade
\[
a=-m b^{2}+n b-1.
\]
Então, a soma dos quadrados das raízes de \(p(z)=0\) é igual a:
A) \(6\)
B) \(7\)
C) \(8\)
D) \(9\)
E) \(10\)
👀 Solução passo a passo
Como \(p\) é de grau ímpar, tem ao menos uma raiz real. Pela condição dada, se \(b=0\) então \(z=a\) satisfaz \(a=-1\).
Logo, \(-1\) é raiz de \(p\), isto é, \(p(-1)=0\). Assim,
\[
p(-1)=(-1)^3-m(-1)^2+(-1)+5+n= -1-m-1+5+n=0
\]
\[
\Rightarrow\quad m-n=3. \tag{1}
\]Como os coeficientes são reais e \(-1\) é raiz, as outras duas raízes devem ser conjugadas: \(a\pm bi\) com \(b\ne0\).
A relação fornecida vale para qualquer raiz \(a+bi\):
\[
a=-m b^{2}+n b-1. \tag{2}
\]
Aplicando-a à raiz conjugada \(a-bi\), obtemos
\[
a=-m(-b)^{2}+n(-b)-1=-m b^{2}-n b-1. \tag{3}
\]
De (2) e (3) segue
\[
-m b^{2}+n b-1=-m b^{2}-n b-1\quad\Rightarrow\quad 2 n b=0.
\]
Como \(b\neq0\), conclui-se \(n=0\). Juntando com (1), resulta \(m=3\).Portanto
\[
p(x)=x^{3}-3x^{2}+x+5=(x+1)\big(x^{2}-4x+5\big),
\]
cujas raízes são \(-1,\;2+i,\;2-i\).A soma dos quadrados das raízes é
\[
(-1)^2+(2+i)^2+(2-i)^2
=1+\big(4+4i+i^{2}\big)+\big(4-4i+i^{2}\big)
=1+\big(3+4i\big)+\big(3-4i\big)=7.
\]
Resposta: B) \(7\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 47
