ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 51 — Geometria Analítica
Os pontos \(B=(1,\,1+6\sqrt2)\) e \(C=(1+6\sqrt2,\,1)\) são vértices do triângulo isósceles \(ABC\) de base \(\overline{BC}\),
contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede \(3\), então as
coordenadas do vértice \(A\) são:
A) \((7\sqrt2,\,7\sqrt2)\)
B) \((\sqrt2,\,\sqrt2)\)
C) \((1+7\sqrt2,\,1+7\sqrt2)\)
D) \((1+\sqrt2,\,1+\sqrt2)\)
E) \((1+6\sqrt2,\,1+6\sqrt2)\)
👀 Solução passo a passo
1) Eixo de simetria.
Como \(B\) e \(C\) são simétricos em relação à reta \(y=x\), o vértice \(A\) está em \(y=x\).
Escreva \(A=(a,a)\). A reta \(\overline{BC}\) tem inclinação \(-1\) e equação
\[
y=-x+(2+6\sqrt2) \ \Longleftrightarrow\ x+y-(2+6\sqrt2)=0. \tag{BC}
\]
2) Base e altura.
O comprimento da base é
\[
|\overline{BC}|=\sqrt{(6\sqrt2)^2+( -6\sqrt2)^2}=12.
\]
Denote por \(L=|\overline{AB}|=|\overline{AC}|\) e por \(h\) a distância (altura) de \(A\) à reta \(\overline{BC}\).
O inraio \(r\) satisfaz \(r=\dfrac{\Delta}{s}\), onde \(\Delta=\dfrac{1}{2}\,|\overline{BC}|\,h=6h\) e
\(s=\dfrac{|\overline{BC}|+2L}{2}=6+L\). Como \(r=3\),
\[
3=\frac{6h}{L+6}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{L+6}{2}. \tag{1}
\]
Pelo triângulo retângulo formado pela altura, \(L^2=h^2+6^2\). Substituindo (1),
\[
L^2=\left(\frac{L+6}{2}\right)^2+36
\ \Longrightarrow\ L^2-4L-60=0
\ \Longrightarrow\ \boxed{L=10}.
\]
Daí \(h=\dfrac{10+6}{2}=\boxed{8}\).
3) Encontrando \(a\) pela distância à base.
A distância do ponto \((a,a)\) à reta \(x+y-(2+6\sqrt2)=0\) é
\[
d=\frac{|2a-(2+6\sqrt2)|}{\sqrt{2}}.
\]
Como essa distância é a altura \(h=8\) e \(a>1+3\sqrt2\) (acima da base),
\[
\frac{2a-(2+6\sqrt2)}{\sqrt2}=8
\ \Longrightarrow\ 2a=2+6\sqrt2+8\sqrt2
\ \Longrightarrow\ a=\boxed{\,1+7\sqrt2\,}.
\]
Logo, \(A=(a,a)=(1+7\sqrt2,\,1+7\sqrt2)\).
Resposta: C) \(\,(1+7\sqrt2,\,1+7\sqrt2)\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 50
