ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 53 — Geometria Espacial
Considere as seguintes afirmações:
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a \(2160^\circ\).
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.
É(são) VERDADEIRA(S):
I. Todo poliedro formado por 16 faces quadrangulares possui exatamente 18 vértices e 32 arestas.
II. Em todo poliedro convexo que possui 10 faces e 16 arestas, a soma dos ângulos de todas as faces é igual a \(2160^\circ\).
III. Existe um poliedro com 15 faces, 22 arestas e 9 vértices.
É(são) VERDADEIRA(S):
A) apenas I
B) apenas II
C) apenas III
D) apenas I e II
E) apenas II e III
👀 Solução passo a passo
Denote por \(V\) o número de vértices, \(A\) o número de arestas, \(F\) o número de faces e,
para \(i\ge 3\), por \(F_i\) o número de faces com \(i\) lados. Recorde-se:
\[
\text{(Euler)}\quad V-A+F=\chi, \qquad
2A=\sum_{i\ge3} i\,F_i, \qquad F=\sum_{i\ge3}F_i.
\]
Para poliedros convexos tem-se \(\chi=2\).
I) Falsa.
A afirmação não impõe convexidade. Há poliedros com 16 faces quadrangulares e um buraco (topologia toroidal) que possuem \(V=16\) e \(A=32\), logo não têm 18 vértices. (Para poliedros convexos, de fato \(2A=4F\Rightarrow A=32\) e por Euler \(V=32-16+2=18\); porém a proposição vale para “todo poliedro”, portanto é falsa.)
II) Verdadeira.
Sendo convexo com \(F=10\) e \(A=16\), pela fórmula de Euler, \[ V-A+F=2 \Rightarrow V=2+A-F=2+16-10=8. \] Escrevendo \(2A=\sum iF_i\) e \(3F=\sum 3F_i\), obtemos \[ 32=2A=\sum iF_i=3\sum F_i+\sum (i-3)F_i =3F+F_4+2F_5+3F_6+\cdots . \] Como \(3F=30\), resulta \[ 2=F_4+2F_5+3F_6+\cdots . \] As únicas possibilidades inteiras são \((F_4,F_5,\ldots)=(2,0,\ldots)\) ou \((0,1,0,\ldots)\). Logo, ou há \(8\) triângulos e \(2\) quadrados \((F_3=8,F_4=2)\), ou há \(9\) triângulos e \(1\) pentágono \((F_3=9,F_5=1)\). Assim, a soma dos ângulos das faces é \[ 8\cdot 180^\circ+2\cdot 360^\circ=2160^\circ \quad\text{ou}\quad 9\cdot 180^\circ+1\cdot 540^\circ=2160^\circ. \] Em ambos os casos, \(2160^\circ\). ✔️
III) Falsa.
Se \(F=15\) e \(A=22\), então \(2A=44\). Como toda face tem ao menos 3 lados, \[ 2A=\sum iF_i \ \ge\ 3\sum F_i=3F=45, \] o que implicaria \(44\ge 45\), absurdo. Logo tal poliedro não existe.
I) Falsa.
A afirmação não impõe convexidade. Há poliedros com 16 faces quadrangulares e um buraco (topologia toroidal) que possuem \(V=16\) e \(A=32\), logo não têm 18 vértices. (Para poliedros convexos, de fato \(2A=4F\Rightarrow A=32\) e por Euler \(V=32-16+2=18\); porém a proposição vale para “todo poliedro”, portanto é falsa.)
II) Verdadeira.
Sendo convexo com \(F=10\) e \(A=16\), pela fórmula de Euler, \[ V-A+F=2 \Rightarrow V=2+A-F=2+16-10=8. \] Escrevendo \(2A=\sum iF_i\) e \(3F=\sum 3F_i\), obtemos \[ 32=2A=\sum iF_i=3\sum F_i+\sum (i-3)F_i =3F+F_4+2F_5+3F_6+\cdots . \] Como \(3F=30\), resulta \[ 2=F_4+2F_5+3F_6+\cdots . \] As únicas possibilidades inteiras são \((F_4,F_5,\ldots)=(2,0,\ldots)\) ou \((0,1,0,\ldots)\). Logo, ou há \(8\) triângulos e \(2\) quadrados \((F_3=8,F_4=2)\), ou há \(9\) triângulos e \(1\) pentágono \((F_3=9,F_5=1)\). Assim, a soma dos ângulos das faces é \[ 8\cdot 180^\circ+2\cdot 360^\circ=2160^\circ \quad\text{ou}\quad 9\cdot 180^\circ+1\cdot 540^\circ=2160^\circ. \] Em ambos os casos, \(2160^\circ\). ✔️
III) Falsa.
Se \(F=15\) e \(A=22\), então \(2A=44\). Como toda face tem ao menos 3 lados, \[ 2A=\sum iF_i \ \ge\ 3\sum F_i=3F=45, \] o que implicaria \(44\ge 45\), absurdo. Logo tal poliedro não existe.
Resposta: B) apenas II.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2020 — 1ª Fase — Questão 52
