ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 2 — Álgebra Linear (não singularidade)
Determine todos os valores do número real \(a\) para os quais a matriz
\[
A=\begin{pmatrix}
1 & a^{3} & -a & 3 & 2\\
2 & a^{2} & 1 & a^{3} & a\\
0 & 0 & a^{2} & 0 & 0\\
-a& 0 & 0 & 3 & 0\\
a^{2}& 0 & 0 & -3 & 0
\end{pmatrix}
\]
é não singular.
👀 Solução passo a passo
Expanda o determinante de \(A\) pela 3ª linha, que tem apenas a entrada \(a^{2}\) na 3ª coluna:
\[
\det(A)=a^{2}\,\det\! \begin{pmatrix}
1 & a^{3} & 3 & 2\\
2 & a^{2} & a^{3} & a\\
-a& 0 & 3 & 0\\
a^{2}& 0 & -3 & 0
\end{pmatrix}.
\]
No determinante \(4\times4\) acima, faça a expansão pela última coluna (apenas as duas primeiras entradas são não nulas):
\[
\det(\cdot)=-2\,
\det\!\begin{pmatrix}
2 & a^{2} & a^{3}\\
-a& 0 & 3\\
a^{2}& 0 & -3
\end{pmatrix}
+a\,
\det\!\begin{pmatrix}
1 & a^{3} & 3\\
-a& 0 & 3\\
a^{2}& 0 & -3
\end{pmatrix}.
\]
Observando que, em ambos os \(3\times3\), a 2ª coluna tem apenas a primeira entrada não nula, esses determinantes
ficam proporcionais ao mesmo \(2\times2\):
\[
\det\!\begin{pmatrix}
2 & a^{2} & a^{3}\\ -a& 0 & 3\\ a^{2}& 0 & -3
\end{pmatrix}=a^{2}\,\det\!\begin{pmatrix}-a&3\\ a^{2}&-3\end{pmatrix},
\qquad
\det\!\begin{pmatrix}
1 & a^{3} & 3\\ -a& 0 & 3\\ a^{2}& 0 & -3
\end{pmatrix}=a^{3}\,\det\!\begin{pmatrix}-a&3\\ a^{2}&-3\end{pmatrix}.
\]
Portanto,
\[
\det(\cdot)=\big(-2a^{2}+a\cdot a^{3}\big)\,\det\!\begin{pmatrix}-a&3\\ a^{2}&-3\end{pmatrix}
=2a^{3}\,\big(\,{-3a^{3}}+{3a^{3}}\,\big)=0.
\]
Conclui-se que
\[
\boxed{\det(A)=0\ \text{para todo }a\in\mathbb{R}},
\]
isto é, a matriz \(A\) é sempre singular e, portanto, não é não singular para nenhum valor real de \(a\).
Resposta: não existe \(a\in\mathbb{R}\) para o qual \(A\) seja não singular.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — 2ª Fase — Questão 1
