ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 42 — Inequação Exponencial
Seja \(S\subset\mathbb{R}\) o conjunto solução da inequação
\[
(x^{2}+x+1)^{\,2x^{2}-x-1}\le 1.
\]
Podemos afirmar que:
a) \(S=[-1,1]\).
b) \(S=\left[-1,\,-\dfrac{1}{2}\right]\).
c) \(S=[0,1]\).
d) \(S=\left[-1,\,-\dfrac{1}{2}\right]\cup[0,1]\).
e) \(S=\varnothing\).
b) \(S=\left[-1,\,-\dfrac{1}{2}\right]\).
c) \(S=[0,1]\).
d) \(S=\left[-1,\,-\dfrac{1}{2}\right]\cup[0,1]\).
e) \(S=\varnothing\).
👀 Solução passo a passo
Defina \(a=x^{2}+x+1\) e \(b=2x^{2}-x-1\).
Observemos que
\[
a=x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34>0\quad\forall x.
\]
Para \(a>0\),
\[
a^{b}\le 1 \iff
\begin{cases}
a=1, & \text{qualquer } b,\\[2pt]
01 \ \text{e}\ b\le 0.
\end{cases}
\]1) Caso \(a=1\):
\[
x^{2}+x+1=1 \iff x(x+1)=0 \iff x\in\{-1,0\}.
\]2) Caso \(0
\[
x^{2}+x+1<1 \iff x(x+1)<0 \iff -13) Caso \(a>1\):
\[
x\le -1 \ \text{ou}\ x\ge 0.
\]
Exigimos \(b\le 0\):
\[
2x^{2}-x-1\le 0 \iff -\frac12\le x\le 1.
\]
Intersecções: \(\emptyset\) com \(x\le -1\) e \([0,1]\) com \(x\ge 0\).
Reunindo os casos e incluindo os pontos de igualdade (já contemplados acima, pois \(x=-1,0,1\) fazem \(a=1\) ou \(b=0\)), \[ S=(-1,-\tfrac12]\ \cup\ [0,1]\ \cup\ \{-1\} =\left[-1,-\tfrac12\right]\cup[0,1]. \]
Reunindo os casos e incluindo os pontos de igualdade (já contemplados acima, pois \(x=-1,0,1\) fazem \(a=1\) ou \(b=0\)), \[ S=(-1,-\tfrac12]\ \cup\ [0,1]\ \cup\ \{-1\} =\left[-1,-\tfrac12\right]\cup[0,1]. \]
Resposta: d) \(\displaystyle S=\left[-1,-\frac12\right]\cup[0,1]\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 41 — 1ª Fase
