ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 44 — Geometria Analítica (Cônicas)
Considere a curva plana definida pela equação
\[
9x^2 + 4y^2 + 36x + 24y + 36 = 0.
\]
O ponto \(P=(0,0)\) é vértice de um retângulo circunscrito à curva. Então a equação da circunferência
circunscrita ao retângulo é:
a) \((x+2)^2+(y+3)^2=9\).
b) \((x+3)^2+(y+2)^2=9\).
c) \((x-2)^2+(y-3)^2=13\).
d) \((x+2)^2+(y+3)^2=13\).
e) \((x+3)^2+(y+2)^2=13\).
b) \((x+3)^2+(y+2)^2=9\).
c) \((x-2)^2+(y-3)^2=13\).
d) \((x+2)^2+(y+3)^2=13\).
e) \((x+3)^2+(y+2)^2=13\).
👀 Solução passo a passo
Reorganizando e completando quadrados:
\[
9(x^2+4x)+4(y^2+6y)+36=0
\Rightarrow 9\big[(x+2)^2-4\big]+4\big[(y+3)^2-9\big]+36=0,
\]
\[
9(x+2)^2+4(y+3)^2-36=0\Rightarrow
\frac{(x+2)^2}{4}+\frac{(y+3)^2}{9}=1.
\]
Logo, a curva é uma elipse de centro \(C=(-2,-3)\), semi-eixos \(b=2\) (horizontal) e \(a=3\) (vertical).
O retângulo circunscrito à elipse tem vértices \[ (-2\pm b,\,-3\pm a) \in \{(0,0),(-4,0),(-4,-6),(0,-6)\}. \] A circunferência que circunscreve esse retângulo tem o mesmo centro \(C=(-2,-3)\) e raio igual à distância até um vértice do retângulo (por exemplo, \(P=(0,0)\)): \[ R=CP=\sqrt{(0+2)^2+(0+3)^2}=\sqrt{13}. \] Portanto, a equação pedida é \[ (x+2)^2+(y+3)^2=13. \]
O retângulo circunscrito à elipse tem vértices \[ (-2\pm b,\,-3\pm a) \in \{(0,0),(-4,0),(-4,-6),(0,-6)\}. \] A circunferência que circunscreve esse retângulo tem o mesmo centro \(C=(-2,-3)\) e raio igual à distância até um vértice do retângulo (por exemplo, \(P=(0,0)\)): \[ R=CP=\sqrt{(0+2)^2+(0+3)^2}=\sqrt{13}. \] Portanto, a equação pedida é \[ (x+2)^2+(y+3)^2=13. \]
Resposta: d) \((x+2)^2+(y+3)^2=13\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 43 — 1ª Fase
