ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 48 — Álgebra (Matrizes 2×2)
Seja \(A\) uma matriz real quadrada de ordem \(2\) tal que
\[
A\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]3&4\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}1&x\\[2pt]y&0\end{pmatrix}
\quad\text{e}\quad
A\begin{pmatrix}2&3\\[2pt]4&5\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x&3\\[2pt]y+1&1\end{pmatrix}.
\]
Então, o traço da matriz \(A\) é igual a:
a) \(0\) b) \(1\) c) \(2\) d) \(3\) e) \(4\)
👀 Solução passo a passo
Escreva \(A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\).
Da primeira igualdade obtemos o sistema
\[
\begin{cases}
a+3b=1,\\
2a+4b=x,\\
c+3d=y,\\
2c+4d=0.
\end{cases}
\]
Da segunda igualdade,
\[
\begin{cases}
2a+4b=x,\\
3a+5b=3,\\
2c+4d=y+1,\\
3c+5d=1.
\end{cases}
\]
Resolvendo:
do par \(a+3b=1\) e \(3a+5b=3\) segue \(b=0\) e \(a=1\).
Do par \(2c+4d=0\) e \(3c+5d=1\) obtemos \(c=2\) e \(d=-1\).Assim,
\[
A=\begin{pmatrix}1&0\\ 2&-1\end{pmatrix}
\quad\Rightarrow\quad
\operatorname{tr}(A)=1+(-1)=0.
\]
Resposta: a) \(0\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 47 — 1ª Fase
