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ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 50 — Geometria Espacial
Considere as seguintes afirmações:
I. Se \(\alpha\) e \(\beta\) são planos paralelos distintos e \(r\) é uma reta tal que \(r\cap\alpha\neq\varnothing\) então \(r\cap\beta\neq\varnothing\).
II. Se \(r\) é uma reta e \(P\) e \(Q\) são pontos distintos, então existem infinitos planos equidistantes de \(P\) e \(Q\) que contêm \(r\).
III. Dado quatro pontos no espaço, existe um único ponto equidistante a eles.
É (são) verdadeira(s):
a) Nenhuma das afirmações. b) apenas I. c) apenas II. d) apenas III. e) I, II e III.
I. Se \(\alpha\) e \(\beta\) são planos paralelos distintos e \(r\) é uma reta tal que \(r\cap\alpha\neq\varnothing\) então \(r\cap\beta\neq\varnothing\).
II. Se \(r\) é uma reta e \(P\) e \(Q\) são pontos distintos, então existem infinitos planos equidistantes de \(P\) e \(Q\) que contêm \(r\).
III. Dado quatro pontos no espaço, existe um único ponto equidistante a eles.
É (são) verdadeira(s):
a) Nenhuma das afirmações. b) apenas I. c) apenas II. d) apenas III. e) I, II e III.
👀 Solução passo a passo
I) Falsa. Tome \(r\subset\alpha\). Como \(\alpha\) e \(\beta\) são paralelos e distintos, \(r\cap\beta=\varnothing\). Logo, de \(r\cap\alpha\neq\varnothing\) não segue \(r\cap\beta\neq\varnothing\).
II) Falsa. Considere a reta \(s\) que passa por \(P\) e \(Q\). Se \(r\) for reversa a \(s\) (não paralela, não concorrente), o único plano equidistante de \(P\) e \(Q\) que pode conter \(r\) é o plano perpendicular ao segmento \(\overline{PQ}\) no seu ponto médio e que contém \(r\) — quando existir. Em particular, não há infinitos tais planos.
III) Falsa. Se os quatro pontos forem cosféricos, o conjunto de pontos equidistantes a eles forma, em geral, uma reta (e não um único ponto): o eixo comum das esferas de raio igual centradas nesses pontos. Se não forem cosféricos, pode não existir qualquer ponto equidistante. Logo, a unicidade é falsa.
II) Falsa. Considere a reta \(s\) que passa por \(P\) e \(Q\). Se \(r\) for reversa a \(s\) (não paralela, não concorrente), o único plano equidistante de \(P\) e \(Q\) que pode conter \(r\) é o plano perpendicular ao segmento \(\overline{PQ}\) no seu ponto médio e que contém \(r\) — quando existir. Em particular, não há infinitos tais planos.
III) Falsa. Se os quatro pontos forem cosféricos, o conjunto de pontos equidistantes a eles forma, em geral, uma reta (e não um único ponto): o eixo comum das esferas de raio igual centradas nesses pontos. Se não forem cosféricos, pode não existir qualquer ponto equidistante. Logo, a unicidade é falsa.
Resposta: a) Nenhuma das afirmações.
