ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 43 — Sistemas Lineares
Seja \(m\in\mathbb{R}\). Considere os sistemas lineares
\[
S_1:\ \begin{cases}
4x – y = 2\\[2pt]
-16x + m^2y + z = -10\\[2pt]
12x – 3y + z = 8
\end{cases}
\qquad
S_2:\ \begin{cases}
10x + z = m^2 + m – 1\\[2pt]
-5y + 5z = 14\\[2pt]
5my + (14-5m)z = 14m^2 – 56
\end{cases}
\]
Assinale a alternativa correta:
a) Não existe \(m\in\mathbb{R}\) tal que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
b) Existe exatamente um \(m>0\) tal que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
c) Existe exatamente um \(m<0\) tal que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
d) Existem exatamente dois valores distintos de \(m\) tais que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
e) Existem infinitos valores distintos para \(m\) tais que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
b) Existe exatamente um \(m>0\) tal que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
c) Existe exatamente um \(m<0\) tal que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
d) Existem exatamente dois valores distintos de \(m\) tais que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
e) Existem infinitos valores distintos para \(m\) tais que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
👀 Solução passo a passo
1) \(S_2\) é sempre possível e determinado.
A matriz dos coeficientes de \(S_2\) é \[ A_2=\begin{bmatrix} 10 & 0 & 1\\ 0 & -5 & 5\\ 0 & 5m & 14-5m \end{bmatrix}, \] cujo determinante vale \[ \det A_2 = 10\, \det\!\begin{bmatrix}-5&5\\[2pt]5m&14-5m\end{bmatrix} =10\bigl(-5(14-5m)-25m\bigr)=-700\neq0. \] Logo, para todo \(m\), \(S_2\) tem solução única.2) Solução de \(S_2\).
Da segunda equação, \(y=z-\frac{14}{5}\). Substituindo na terceira: \[ 5m(z-\tfrac{14}{5})+(14-5m)z=14m^2-56 \;\Longrightarrow\; 14z-14m=14m^2-56 \;\Longrightarrow\; z=m^2+m-4. \] Assim, \[ y=m^2+m-\frac{34}{5},\qquad 10x+z=m^2+m-1\ \Longrightarrow\ x=\frac{3}{10}. \]3) Condição para \(S_1\) ser possível e determinado.
\[ \det A_1=\det\!\begin{bmatrix} 4 & -1 & 0\\ -16 & m^2 & 1\\ 12 & -3 & 1 \end{bmatrix} =4(m^2-4)=4(m-2)(m+2). \] Logo, \(S_1\) tem solução única sse \(m\neq\pm2\).4) Equivalência: a solução de \(S_2\) deve satisfazer \(S_1\).
Substituindo \(\,(x,y,z)=\bigl(\frac{3}{10},\,m^2+m-\frac{34}{5},\,m^2+m-4\bigr)\) na 1ª equação de \(S_1\): \[ 4\cdot\frac{3}{10}-y=2\ \Longrightarrow\ y=-\frac{4}{5}. \] Igualando, \[ m^2+m-\frac{34}{5}=-\frac{4}{5} \ \Longrightarrow\ m^2+m-6=0 \ \Longrightarrow\ m=2\ \text{ou}\ m=-3. \] Como \(m=2\) anula \(\det A_1\) (não serve), sobra apenas \(m=-3\).
A matriz dos coeficientes de \(S_2\) é \[ A_2=\begin{bmatrix} 10 & 0 & 1\\ 0 & -5 & 5\\ 0 & 5m & 14-5m \end{bmatrix}, \] cujo determinante vale \[ \det A_2 = 10\, \det\!\begin{bmatrix}-5&5\\[2pt]5m&14-5m\end{bmatrix} =10\bigl(-5(14-5m)-25m\bigr)=-700\neq0. \] Logo, para todo \(m\), \(S_2\) tem solução única.2) Solução de \(S_2\).
Da segunda equação, \(y=z-\frac{14}{5}\). Substituindo na terceira: \[ 5m(z-\tfrac{14}{5})+(14-5m)z=14m^2-56 \;\Longrightarrow\; 14z-14m=14m^2-56 \;\Longrightarrow\; z=m^2+m-4. \] Assim, \[ y=m^2+m-\frac{34}{5},\qquad 10x+z=m^2+m-1\ \Longrightarrow\ x=\frac{3}{10}. \]3) Condição para \(S_1\) ser possível e determinado.
\[ \det A_1=\det\!\begin{bmatrix} 4 & -1 & 0\\ -16 & m^2 & 1\\ 12 & -3 & 1 \end{bmatrix} =4(m^2-4)=4(m-2)(m+2). \] Logo, \(S_1\) tem solução única sse \(m\neq\pm2\).4) Equivalência: a solução de \(S_2\) deve satisfazer \(S_1\).
Substituindo \(\,(x,y,z)=\bigl(\frac{3}{10},\,m^2+m-\frac{34}{5},\,m^2+m-4\bigr)\) na 1ª equação de \(S_1\): \[ 4\cdot\frac{3}{10}-y=2\ \Longrightarrow\ y=-\frac{4}{5}. \] Igualando, \[ m^2+m-\frac{34}{5}=-\frac{4}{5} \ \Longrightarrow\ m^2+m-6=0 \ \Longrightarrow\ m=2\ \text{ou}\ m=-3. \] Como \(m=2\) anula \(\det A_1\) (não serve), sobra apenas \(m=-3\).
Alternativa correta: C.
Existe exatamente um \(m<0\) (a saber, \(m=-3\)) tal que \(S_1\) é equivalente a \(S_2\).
