ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 42 — Geometria Plana
Considere um triângulo de vértices \(A,B,C\), retângulo em \(B\).
Seja \(r\) a reta determinada por \(A\) e \(C\) e seja \(O\) um ponto
equidistante de \(A\) e \(C\) no mesmo lado que \(B\) com respeito a \(r\).
Sabendo que \(m(AO)=85\), \(m(AB)=10\) e \(m(BC)=24\), temos que a distância de \(O\) a \(r\) é
a) 64. b) 66. c) 74. d) 76. e) 84.
👀 Solução passo a passo
1) Comprimento de \(AC\):
Como o triângulo é retângulo em \(B\), \[ AC^2=AB^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676 \;\Rightarrow\; AC=26. \] 2) Onde está \(O\)?
Sendo equidistante de \(A\) e \(C\), o ponto \(O\) pertence à mediatriz de \(AC\). Denote por \(M\) o ponto médio de \(AC\). Logo, \(AM=MC=\dfrac{AC}{2}=13\) e \(OM\) é a distância pedida de \(O\) à reta \(r\) (pois \(r\) é a reta \(AC\)). 3) Triângulo retângulo \(AOM\):
Em \(AOM\), com \(AO=85\) e \(AM=13\), \[ OM^2 = AO^2 – AM^2 = 85^2 – 13^2 = 7225 – 169 = 7056 \;\Rightarrow\; OM=\sqrt{7056}=84. \]
Como o triângulo é retângulo em \(B\), \[ AC^2=AB^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676 \;\Rightarrow\; AC=26. \] 2) Onde está \(O\)?
Sendo equidistante de \(A\) e \(C\), o ponto \(O\) pertence à mediatriz de \(AC\). Denote por \(M\) o ponto médio de \(AC\). Logo, \(AM=MC=\dfrac{AC}{2}=13\) e \(OM\) é a distância pedida de \(O\) à reta \(r\) (pois \(r\) é a reta \(AC\)). 3) Triângulo retângulo \(AOM\):
Em \(AOM\), com \(AO=85\) e \(AM=13\), \[ OM^2 = AO^2 – AM^2 = 85^2 – 13^2 = 7225 – 169 = 7056 \;\Rightarrow\; OM=\sqrt{7056}=84. \]
Resposta: letra E — \(84\).
