ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 46 — Álgebra Linear
Seja \(n\ge 2\) e \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\). Considere as afirmações:
I. Se \(AB\ne BA\) então ou \(A\) ou \(B\) não é inversível.
II. Se \(AB=0\) então \(BA=0\).
III. Se \(A^{T}=-A^{2}\) e \(A\) é inversível, então \(\det(A)=-1\).
É(são) verdadeira(s):
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) Nenhuma das afirmações.
I. Se \(AB\ne BA\) então ou \(A\) ou \(B\) não é inversível.
II. Se \(AB=0\) então \(BA=0\).
III. Se \(A^{T}=-A^{2}\) e \(A\) é inversível, então \(\det(A)=-1\).
É(são) verdadeira(s):
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) Nenhuma das afirmações.
👀 Solução passo a passo
I) Falsa.
Basta um contraexemplo com \(AB\ne BA\) e ambas inversíveis, por exemplo, em \(n=2\): \[ A=\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}. \] \(\det A=1\ne0\), \(\det B=-2\ne0\) (logo, ambas inversíveis) e verifica-se que \(AB\ne BA\).
II) Falsa.
Contraexemplo (também em \(n=2\)): \[ A=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1&1\\-1&-1\end{bmatrix}. \] Então \[ AB=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}=0, \] mas \[ BA=\begin{bmatrix}2&2\\-2&-2\end{bmatrix}\ne0. \] Logo, de \(AB=0\) não se conclui \(BA=0\).
III) Falsa.
Se \(A^{T}=-A^{2}\) e \(A\) é inversível, \[ \det(A^{T})=\det(-A^{2}) \ \Rightarrow\ \det(A)=\det(-I)\det(A)^{2}=(-1)^{n}\det(A)^{2}. \] Como \(\det(A)\ne0\), dividindo por \(\det(A)\) obtemos \[ 1=(-1)^{n}\det(A)\quad\Rightarrow\quad \det(A)=\begin{cases} 1,& n\text{ par},\\[2pt] -1,& n\text{ ímpar}. \end{cases} \] Portanto, \(\det(A)\) nem sempre é \(-1\) — depende da paridade de \(n\).
Basta um contraexemplo com \(AB\ne BA\) e ambas inversíveis, por exemplo, em \(n=2\): \[ A=\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}. \] \(\det A=1\ne0\), \(\det B=-2\ne0\) (logo, ambas inversíveis) e verifica-se que \(AB\ne BA\).
II) Falsa.
Contraexemplo (também em \(n=2\)): \[ A=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1&1\\-1&-1\end{bmatrix}. \] Então \[ AB=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}=0, \] mas \[ BA=\begin{bmatrix}2&2\\-2&-2\end{bmatrix}\ne0. \] Logo, de \(AB=0\) não se conclui \(BA=0\).
III) Falsa.
Se \(A^{T}=-A^{2}\) e \(A\) é inversível, \[ \det(A^{T})=\det(-A^{2}) \ \Rightarrow\ \det(A)=\det(-I)\det(A)^{2}=(-1)^{n}\det(A)^{2}. \] Como \(\det(A)\ne0\), dividindo por \(\det(A)\) obtemos \[ 1=(-1)^{n}\det(A)\quad\Rightarrow\quad \det(A)=\begin{cases} 1,& n\text{ par},\\[2pt] -1,& n\text{ ímpar}. \end{cases} \] Portanto, \(\det(A)\) nem sempre é \(-1\) — depende da paridade de \(n\).
Resposta: e) Nenhuma das afirmações.
