ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 47 — Trigonometria
Suponha \(x,r\in\mathbb{R}\) com \(-\dfrac{\pi}{2} < x-r \le x+r < \dfrac{\pi}{2}\).
Sobre \(\tan(x-r)\), \(\tan(x)\) e \(\tan(x+r)\), nesta ordem, podemos afirmar que:
Sobre \(\tan(x-r)\), \(\tan(x)\) e \(\tan(x+r)\), nesta ordem, podemos afirmar que:
- Nunca determina uma progressão aritmética.
- Pode determinar uma progressão aritmética apenas se \(r=0\).
- Pode determinar uma progressão aritmética apenas se \(r=0\) ou se \(r=\sqrt{3}/3\).
- Pode determinar uma progressão aritmética para infinitos valores distintos de \(r\).
- Determina uma progressão aritmética para todo \(x\) e \(r\) como no enunciado.
👀 Solução passo a passo
Para três termos \(a,b,c\) estarem em P.A., deve valer \(b=\dfrac{a+c}{2}\). Assim,
\[
\tan x=\frac{\tan(x-r)+\tan(x+r)}{2}. \tag{1}
\]
Usando \(\tan(x\pm r)=\dfrac{\tan x\pm \tan r}{1\mp \tan x\,\tan r}\) e pondo \(X=\tan x\), \(T=\tan r\):
\[
\tan(x+r)+\tan(x-r)=\frac{2X(1+T^2)}{1-X^2T^2}.
\]
Substituindo em (1) (com \(X\neq0\)):
\[
1=\frac{1+T^2}{1-X^2T^2}\ \Longrightarrow\ -X^2T^2=T^2\ \Longrightarrow\ T=0 \ (\text{i.e., } r=0).
\]
Se \(X=0\) (isto é, \(\tan x=0\)), então \((\tan(x-r),\tan x,\tan(x+r))=(-T,0,T)\), que é P.A. para qualquer \(r\) que satisfaça as restrições do enunciado. Logo:
• Existem infinitos valores de \(r\) (por exemplo, com \(x=0\)) que geram P.A.;
• Não é verdade que funcione para todo \(x,r\) (ex.: \(x=\pi/6,\ r=\pi/3\) dá \((0,\sqrt3/3,\sqrt3)\), que não é P.A.).
• Existem infinitos valores de \(r\) (por exemplo, com \(x=0\)) que geram P.A.;
• Não é verdade que funcione para todo \(x,r\) (ex.: \(x=\pi/6,\ r=\pi/3\) dá \((0,\sqrt3/3,\sqrt3)\), que não é P.A.).
Resposta: D
