ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 51 — Probabilidade & Numeração Binária
Dizemos que a representação binária de um número \(N\in\mathbb{N}\) é da forma
\[
N = g\cdot 2^{0}+f\cdot 2^{1}+e\cdot 2^{2}+d\cdot 2^{3}+c\cdot 2^{4}+b\cdot 2^{5}+a\cdot 2^{6}
= (abcdefg)_2,
\]
onde \(a,b,c,d,e,f,g\in\{0,1\}\) e omitem-se os algarismos \(0\) até o primeiro algarismo \(1\) à esquerda.
Seja \(k\) um número inteiro tal que \(1\le k\le 100\). Qual a probabilidade de que \(k\) e \(k+1\) tenham
representações binárias com número distinto de algarismos?
a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% e) 10%
👀 Solução passo a passo
Ideia-chave. Dois inteiros consecutivos têm quantidades diferentes de dígitos na base 2
apenas quando o segundo é uma potência de 2. De fato, a quantidade de algarismos de \(n\) em base 2 é
\(\lfloor\log_2 n\rfloor+1\); ela só aumenta ao passar de \(n\) para \(n+1\) quando \(n+1=2^m\).
Favorable \(\Leftrightarrow\) \(k+1\) é potência de 2.
No intervalo \(1\le k\le 100\), as potências de 2 possíveis para \(k+1\) são \[ 2,\,4,\,8,\,16,\,32,\,64\quad (\text{pois }128>101). \] Logo, \[ k\in\{1,3,7,15,31,63\}. \] São \(6\) casos favoráveis, dentre \(100\) valores igualmente prováveis para \(k\).
Favorable \(\Leftrightarrow\) \(k+1\) é potência de 2.
No intervalo \(1\le k\le 100\), as potências de 2 possíveis para \(k+1\) são \[ 2,\,4,\,8,\,16,\,32,\,64\quad (\text{pois }128>101). \] Logo, \[ k\in\{1,3,7,15,31,63\}. \] São \(6\) casos favoráveis, dentre \(100\) valores igualmente prováveis para \(k\).
Probabilidade pedida: \(\displaystyle \frac{6}{100}=6\%\).
Alternativa: c)
Alternativa: c)
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