ITA 2022 — 1ª Fase — Questão 54 — Trigonometria
O número de soluções reais e distintas da equação
\[
\cos^2(2x)=3-3\cos^6(x)-5\cos^2(x)
\]
no intervalo \([0,2\pi]\) é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
👀 Solução passo a passo
1) Substitua \(\cos(2x)=1-2\cos^2 x\):
Seja \(c=\cos x\). Então \[ \cos^2(2x)=(1-2c^2)^2=1-4c^2+4c^4. \] A equação fica \[ 1-4c^2+4c^4=3-3c^6-5c^2 \ \Longrightarrow\ 3c^6+4c^4 + c^2 -2=0. \]2) Fatoração em \(c^2\):
\[ 3c^6+4c^4+c^2-2 =(c^2+1)\big(c^4+3c^2-2\big)=0. \] Do primeiro fator \(c^2+1=0\) não há solução real. Do segundo: \[ y=c^2 \ \Rightarrow\ y^2+3y-2=0 \ \Rightarrow\ y=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}. \] Como \(y=c^2\ge0\), aceita-se apenas \[ c^2=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\quad \Longrightarrow\quad c=\cos x=\pm\sqrt{\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}. \]3) Contagem no intervalo \([0,2\pi]\):
Como \(\cos x = a\) com \(a\in(0,1)\) possui duas soluções em \([0,2\pi]\) (primeiro e quarto quadrantes) e \(\cos x = -a\) possui duas (segundo e terceiro), totalizamos \[ 2+2=4 \text{ soluções distintas.} \]
Seja \(c=\cos x\). Então \[ \cos^2(2x)=(1-2c^2)^2=1-4c^2+4c^4. \] A equação fica \[ 1-4c^2+4c^4=3-3c^6-5c^2 \ \Longrightarrow\ 3c^6+4c^4 + c^2 -2=0. \]2) Fatoração em \(c^2\):
\[ 3c^6+4c^4+c^2-2 =(c^2+1)\big(c^4+3c^2-2\big)=0. \] Do primeiro fator \(c^2+1=0\) não há solução real. Do segundo: \[ y=c^2 \ \Rightarrow\ y^2+3y-2=0 \ \Rightarrow\ y=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}. \] Como \(y=c^2\ge0\), aceita-se apenas \[ c^2=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\quad \Longrightarrow\quad c=\cos x=\pm\sqrt{\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}. \]3) Contagem no intervalo \([0,2\pi]\):
Como \(\cos x = a\) com \(a\in(0,1)\) possui duas soluções em \([0,2\pi]\) (primeiro e quarto quadrantes) e \(\cos x = -a\) possui duas (segundo e terceiro), totalizamos \[ 2+2=4 \text{ soluções distintas.} \]
Resposta: c) 4
