ITA 2022 — 2ª Fase — Questão 7 — Geometria Espacial (Tronco de Pirâmide)
Considere \(T\) um tronco de pirâmide regular de altura \(h=4+2\sqrt3\) com bases hexagonais paralelas.
Sabendo que o lado da maior base é \(\displaystyle \ell=\frac{8\sqrt3}{3}\) e que o ângulo diedro entre as faces
laterais e a base do tronco mede \(75^\circ\), determine o volume de \(T\).
👀 Solução passo a passo
Seja \(r\) a aresta da base maior e \(r’\) a aresta da base menor. No hexágono regular,
o apótema é \(a=\dfrac{\sqrt3}{2}\,r\). Tomando os pontos médios correspondentes das arestas,
o quadrilátero formado é um trapézio retângulo cujo cateto horizontal mede
\[
\mathrm{XM}=a-a’=\frac{\sqrt3}{2}\,(r-r’),
\]
e o cateto vertical é a altura \(h\).
Como o diedro entre as faces laterais e a base é \(75^\circ\), tem-se
\[
\tan 75^\circ=\frac{h}{\mathrm{XM}}
\;\Rightarrow\;
2+\sqrt3=\frac{4+2\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}\,(r-r’)}
\;\Rightarrow\;
r-r’=\frac{4}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}.
\]
Como \(r=\dfrac{8\sqrt3}{3}\), segue
\[
r’=r-\frac{4\sqrt3}{3}=\frac{4\sqrt3}{3}.
\]Áreas das bases.
A área do hexágono de lado \(x\) é \(A(x)=6\cdot\frac{x^2\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}x^2\).
Assim,
\[
A_1=A(r)=\frac{3\sqrt3}{2}\!\left(\frac{8\sqrt3}{3}\right)^2=32\sqrt3,\qquad
A_2=A(r’)=\frac{3\sqrt3}{2}\!\left(\frac{4\sqrt3}{3}\right)^2=8\sqrt3,
\]
e
\[
\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{(32\sqrt3)(8\sqrt3)}=16\sqrt3.
\]Volume do tronco.
Usando a fórmula
\(\displaystyle V=\frac{h}{3}\big(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\big)\),
obtemos
\[
V=\frac{4+2\sqrt3}{3}\,(32\sqrt3+8\sqrt3+16\sqrt3)
=\frac{4+2\sqrt3}{3}\cdot 56\sqrt3
=\frac{112}{3}\,(3+2\sqrt3).
\]
Resposta final: \(\displaystyle V=\frac{112}{3}\,\big(3+2\sqrt3\big)\).
