1) O que é uma matriz quadrada?

Uma matriz quadrada é uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas, isto é, de ordem n×n. Em notação geral, escrevemos:

\( A = \big[a_{ij}\big]_{n\times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \)

Propriedades básicas

• Traço: \(\mathrm{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}\) (soma dos elementos da diagonal principal).
• Transposta: \(A^T\) é obtida trocando linhas por colunas.
• Simetria: \(A\) é simétrica se \(A=A^T\) e antissimétrica se \(A^T=-A\).

2) Diagonal principal

A diagonal principal de uma matriz quadrada \(A\) é o conjunto dos elementos cujos índices de linha e coluna coincidem: \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}\).

Acima e abaixo da diagonal

• Acima da diagonal principal: elementos com \(i < j\).
• Abaixo da diagonal principal: elementos com \(i > j\).

Exemplo

Para \( A=\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 0 & -3 & 5\\ 7 & 6 & 9 \end{bmatrix}\), a diagonal principal é \( (4, -3, 9) \) e o traço é \(\mathrm{tr}(A)=4+(-3)+9=10\).

3) Diagonal secundária

A diagonal secundária (ou anti-diagonal) reúne os elementos cuja soma dos índices é constante: \(i+j=n+1\). Para uma matriz 4×4, por exemplo, essa diagonal é \(a_{14}, a_{23}, a_{32}, a_{41}\).

Soma da diagonal secundária

Definimos \(s(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i,\,n+1-i}\). Para \( A=\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2\\ 0 & -3 & 5\\ 7 & 6 & 9 \end{bmatrix} \) (3×3), a diagonal secundária é \( (2, -3, 7) \) e a soma é \(2+(-3)+7=6\).

4) Matriz identidade \(I_n\)

A matriz identidade de ordem \(n\), denotada por \(I_n\), é a matriz quadrada com 1 em todos os elementos da diagonal principal e 0 nos demais:

\( I_n=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \)

Propriedades essenciais

• Elemento neutro da multiplicação: \(I_n A = A I_n = A\) para toda \(A\) de ordem \(n\).
• Traço: \(\mathrm{tr}(I_n)=n\).
• Transposta: \(I_n^T=I_n\).
• Potência: \(I_n^k=I_n\) para todo inteiro \(k\ge 1\).

5) Exercícios de múltipla escolha

1. Considere \(A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\ 4&3&5\\ 7&1&-2\end{bmatrix}\). A diagonal principal de \(A\) é:

   • A) \((2,3,-2)\)
   • B) \((0,3,7)\)
   • C) \((0,5,-2)\)
   • D) \((2,4,7)\)
   Ver solução

   Diagonal principal: \(a_{11},a_{22},a_{33}=(2,3,-2)\). Resposta: A.

2. Na mesma matriz \(A\), a diagonal secundária é:

   • A) \((0,3,7)\)
   • B) \((0,3,7)\) (ordem importa)
   • C) \((0,3,7)\) com ordem correta: \((0,3,7)\)
   • D) \((0,3,7)\) onde os termos são \(a_{13},a_{22},a_{31}\)
   Ver solução

   A diagonal secundária (3×3) é \(a_{13},a_{22},a_{31}=(0,3,7)\). Resposta: D.

3. Se \(I_3\) é a identidade 3×3 e \(B\) é 3×3, então:

   • A) \(I_3B=0\)
   • B) \(BI_3=B\) e \(I_3B=B\)
   • C) \(I_3^T\ne I_3\)
   • D) \(\mathrm{tr}(I_3)=1\)
   Ver solução

   \(I_3\) é elemento neutro: \(BI_3=I_3B=B\); \(\mathrm{tr}(I_3)=3\) e \(I_3^T=I_3\). Resposta: B.

4. Para \(C=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\), o traço \(\mathrm{tr}(C)\) é:

   • A) 3
   • B) 4
   • C) 5
   • D) 6
   Ver solução

   \(\mathrm{tr}(C)=1+4=5\). Resposta: C.

5. Se \(D\) é 4×4 e \(d_{ij}=0\) para \(i\ne j\) e \(d_{ii}=7\) para todo \(i\), então \(D\) é:

   • A) identidade
   • B) nula
   • C) diagonal (e escalar)
   • D) antissimétrica
   Ver solução

   Todos os fora da diagonal são 0 e todos os da diagonal são iguais (7). É uma diagonal e também escalar. Resposta: C.

6) Resumo rápido

• Matriz quadrada: ordem \(n\times n\).
• Diagonal principal: \(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}\); traço é a soma desses termos.
• Diagonal secundária: \(a_{1n},a_{2,n-1},\ldots,a_{n1}\).
• Identidade \(I_n\): 1 na diagonal principal e 0 fora; \(I_nA=AI_n=A\).