Números Algébricos — Definição, Propriedades, Exemplos e Exercícios
O que são números algébricos?
Números algébricos são todos os números reais ou complexos que são soluções de alguma equação polinomial com coeficientes inteiros e de grau ≥ 1:
Em outras palavras, um número \( \alpha \) é algébrico se existe um polinômio \(P(x)\) com coeficientes inteiros tal que \(P(\alpha)=0\).
Relação com polinômios
Todo número algébrico está diretamente relacionado à teoria dos polinômios. Por exemplo, \(\sqrt{2}\) é algébrico porque resolve \(x^2-2=0\). Já \(1+i\) também é algébrico, pois satisfaz \(x^2-2x+2=0\).
Exemplos clássicos de números algébricos
- \(2\) resolve \(x-2=0\) ⇒ algébrico.
- \(\sqrt{5}\) resolve \(x^2-5=0\) ⇒ algébrico.
- \(\dfrac{3}{7}\) resolve \(7x-3=0\) ⇒ algébrico.
- \(\omega=e^{2\pi i/3}\) resolve \(x^3-1=0\) ⇒ algébrico.
Diferença entre números algébricos e transcendentais
Transcendentais são números que não são raízes de nenhum polinômio com coeficientes inteiros.
Assim, temos:
- Algébricos: \(\sqrt{2}\), \(1/3\), \(i\), \(2\).
- Transcendentais: \(\pi\), \(e\).
Principais propriedades
- O conjunto dos números algébricos é contável.
- Todos os números racionais são algébricos.
- Nem todos os números irracionais são transcendentais: muitos são algébricos.
- Operações entre algébricos nem sempre resultam em algébricos: depende do contexto.
Aplicações em matemática
- Teoria dos corpos e extensões algébricas.
- Estudo de raízes de polinômios.
- Classificação de números complexos e reais.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 — Prove que \(\sqrt{7}\) é algébrico
Solução
\(\sqrt{7}\) satisfaz a equação \(x^2-7=0\) com coeficientes inteiros, logo é algébrico.
Exemplo 2 — Verifique se \(\pi\) é algébrico
Solução
\(\pi\) não satisfaz nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros ⇒ é transcendental.
Exercícios propostos
- Mostre que \(\dfrac{5}{9}\) é algébrico.
- Determine uma equação polinomial satisfeita por \(\sqrt[3]{4}\).
- Classifique \(\pi\), \(e\), \(\sqrt{3}\) e \(\dfrac{7}{5}\) como algébricos ou transcendentais.
- Prove que \(1+i\) é algébrico.
- Os números racionais pertencem ao conjunto dos números algébricos? Justifique.
Gabarito
1) \(5/9\) resolve \(9x-5=0\) ⇒ algébrico.
2) Equação: \(x^3-4=0\).
3) \(\pi\): transcendental; \(e\): transcendental; \(\sqrt{3}\): algébrico; \(7/5\): algébrico.
4) \(1+i\) resolve \(x^2-2x+2=0\) ⇒ algébrico.
5) Sim, pois todos os racionais são raízes de polinômios lineares do tipo \(qx-p=0\).
Leituras relacionadas
Resumo e materiais
- ✔ Definição e propriedades dos números algébricos
- ✔ Diferença para números transcendentais
- ✔ Exemplos práticos e aplicações
- ✔ Exercícios resolvidos e propostos
