Números Amigáveis — Definição, Exemplos e Curiosidades

Atualizado em 23 de agosto de 2025 • Leitura: ~15 min • Teoria, história e exercícios resolvidos

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O que são números amigáveis

Números amigáveis são dois números naturais distintos em que a soma dos divisores próprios de um número é igual ao outro número e vice-versa.

Matematicamente, se \(a\) e \(b\) são números amigáveis, então:

\[ \sigma(a) – a = b \quad \text{e} \quad \sigma(b) – b = a \]

Onde \(\sigma(n)\) é a soma dos divisores positivos de \(n\).

Exemplos clássicos

O par mais famoso de números amigáveis é \(220\) e \(284\). Vamos verificar isso com cálculos detalhados:

Exemplo — Verificando \(220\) e \(284\)

Passo 1: Liste os divisores próprios de \(220\):

\[ \text{Divisores de } 220 = \] \[1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 \] \[ = 284 \]

Passo 2: Liste os divisores próprios de \(284\):

\[ \text{Divisores de } 284 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 \]

Conclusão: A soma dos divisores próprios de \(220\) é \(284\) e vice-versa. Portanto, \((220, 284)\) formam um par de números amigáveis.

História e origem

O conceito remonta aos matemáticos da Grécia Antiga, mas foi aprofundado pelos árabes na Idade Média, como Thabit ibn Qurra, que descobriu uma fórmula para encontrar números amigáveis.

Propriedades e características

Os números amigáveis são sempre pares distintos.
Se um número \(a\) for amigável com \(b\), \(b\) também será amigável com \(a\).
Podem ser encontrados usando algoritmos específicos com divisores.

Exemplos clássicos

(220, 284): o par mais famoso, descrito por Pitágoras.
(1184, 1210): descoberto por matemáticos árabes.
(2620, 2924): outro exemplo clássico.

Curiosidades sobre números amigáveis

Os pitagóricos associavam esses números à amizade verdadeira.
Foram estudados por matemáticos renomados como Euler, que desenvolveu fórmulas para encontrar novos pares.
Hoje, computações modernas já identificaram milhões de pares amigáveis.

Aplicações e importância

Embora sejam mais estudados por interesse teórico, os números amigáveis têm aplicações em:

Teoria dos números: explorando padrões matemáticos.
Criptografia: uso potencial em sistemas baseados em divisores.
História da matemática: seu estudo ajuda a entender o desenvolvimento da aritmética.

Exercícios propostos

Verifique se os números \(220\) e \(284\) são amigáveis.
Encontre outro par de números amigáveis com soma inferior a \(1500\).
Explique a diferença entre números amigáveis e números perfeitos.

Gabarito

1) \(220\) e \(284\) são amigáveis.
2) \(1184\) e \(1210\).
3) Números perfeitos são iguais à soma dos seus divisores próprios, enquanto os amigáveis envolvem dois números distintos.