Números Figurados Avançados — Pentagonais, Hexagonais e Outros

Atualizado em 23 de agosto de 2025 • Leitura: ~18 min • Teoria, exemplos e exercícios resolvidos

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O que são números figurados

Números figurados são números que podem ser representados por pontos organizados em figuras geométricas regulares. Os mais conhecidos são triangulares e quadrados, mas existem diversos outros, como pentagonais, hexagonais, heptagonais e até de ordens superiores.

Números pentagonais

Os números pentagonais são definidos pela fórmula:

\[ P_n=\dfrac{3n^2-n}{2}, \quad n\in\mathbb{N}^* \]

Primeiros termos: 1, 5, 12, 22, 35, 51…

Números hexagonais

Os números hexagonais são dados por:

\[ H_n=2n^2-n \]

Primeiros termos: 1, 6, 15, 28, 45, 66…

Números heptagonais

Os números heptagonais seguem a fórmula:

\[ He_n=\dfrac{5n^2-3n}{2} \]

Primeiros termos: 1, 7, 18, 34, 55, 81…

Relações entre figurados

Todos os números hexagonais também são triangulares.
Alguns pentagonais coincidem com triangulares, como \(P_3=12\).
Sequências figuradas são estudadas por meio de progressões quadráticas.

Aplicações práticas

Os números figurados aparecem em:

Modelos geométricos e arquitetônicos;
Arranjos moleculares em química e física;
Distribuições simétricas em análise combinatória.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1 — Calcular \(P_5\)

Solução

\(P_5=\dfrac{3(5)^2-5}{2}=\dfrac{75-5}{2}=35\).

Exemplo 2 — Calcular \(H_4\)

Solução

\(H_4=2(4)^2-4=32-4=28\).

Exemplo 3 — Relação entre figurados

Solução

Todo número hexagonal \(H_n\) também pode ser escrito como triangular: \(H_n=T_{2n-1}\).

Exercícios propostos

Liste os 6 primeiros números pentagonais.
Calcule \(H_7\).
Mostre que \(H_n=T_{2n-1}\).
Determine o menor número hexagonal maior que 100.
Prove que \(P_n=\dfrac{3n^2-n}{2}\).

Gabarito

1) 1, 5, 12, 22, 35, 51.
2) \(H_7=2(7)^2-7=98-7=91\).
3) Usar fórmula dos triangulares: \(T_k=\dfrac{k(k+1)}{2}\) ⇒ substitua \(k=2n-1\).
4) Resolva \(2n^2-n>100\) ⇒ \(n=8\) ⇒ \(H_8=120\).
5) Montar progressão aritmética da borda do pentágono e somar os termos.