Números Reais Não Negativos (ℝ₊₀) — Definição, Propriedades e Exercícios
O que é ℝ₊₀
Números reais não negativos formam o conjunto:
Inclui o zero e todos os reais positivos (inteiros, racionais e irracionais).
Intervalos e notação
- Fechado à esquerda, aberto à direita: \([0,a)\) com \(a>0\).
- Fechado: \([0,a]\) inclui \(a\).
- Sem cota superior: \([0,\infty)\).
Módulo, distância e média
Para \(x\ge0\), o módulo coincide com o próprio número: \(|x|=x\). A distância entre \(a,b\in\mathbb{R}\) é \(d(a,b)=|a-b|\).
Observação: somas e médias de não negativos permanecem não negativas.
Operações, potências e raízes
- Fechamento: se \(a,b\ge0\), então \(a+b\ge0\) e \(a\cdot b\ge0\).
- Potências: se \(a\ge0\) e \(n\in\mathbb{N}\), então \(a^n\ge0\).
- Raiz par: \(\sqrt[2k]{a}\) só é real para \(a\ge0\) e também é \(\ge0\).
- Raiz ímpar: definida para todos os reais; se \(a\ge0\), então \(\sqrt[2k+1]{a}\ge0\).
Inequações e valor absoluto
- \(|x|\le a\) (com \(a\ge0\)) ⇔ \(-a\le x\le a\).
- Se \(x\ge0\), então \(|x|=x\) e \(|x|\le a \iff 0\le x\le a\).
- Para \(x\ge0\), \(\sqrt{x}\le \sqrt{y}\iff x\le y\) (monotonicidade da raiz).
Aplicações e modelagem
- Grandezas físicas: distância, área, volume, energia (tipicamente \(\ge0\)).
- Probabilidade: \(P(E)\in[0,1]\subset\mathbb{R}_{+0}\).
- Economia/Finanças: receitas, custos e quantidades não negativas; funções de produção com domínio \([0,\infty)\).
Conexões: revise Números Reais, Racionais e Irracionais.
Exemplos Resolvidos
Exemplo 1 — Domínio com raiz
Enunciado: Determine o domínio de \(f(x)=\sqrt{2x-6}\).
Solução
Exige \(2x-6\ge0\Rightarrow x\ge3\). Logo, \(D_f=[3,\infty)\subset\mathbb{R}_{+0}\).
Exemplo 2 — Inequação com módulo
Enunciado: Resolva \(|x|\le 5\) e escreva como intervalo.
Solução
\(-5\le x\le 5\). Se exigirmos \(x\ge0\), então \(0\le x\le 5\Rightarrow [0,5]\).
Exemplo 3 — Média não negativa
Enunciado: \(x_1,\dots,x_n\ge0\). Prove que \(\overline{x}\ge0\).
Solução
Como cada termo é \(\ge0\), a soma é \(\ge0\). Dividindo por \(n>0\), obtemos \(\overline{x}\ge0\).
Exercícios Propostos
- Escreva \(\mathbb{R}_{+0}\) em notação de intervalo.
- Determine o domínio de \(g(x)=\sqrt{x^2-9}\).
- Resolva em \(\mathbb{R}_{+0}\): \(|x-4|\le2\).
- Para \(a,b\ge0\), prove que \(\sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}\).
- Se \(x\ge0\) e \(x^2\le 16\), quais os possíveis valores de \(x\)?
- Escreva \([0,7)\) como condição lógica com desigualdades.
- Resolva: \(\sqrt{5x+1}\ge4\).
- Mostre que, se \(x\ge0\), então \(|x-3|= \begin{cases} 3-x,& 0\le x\le3\\ x-3,& x\ge3\end{cases}\).
- Encontre o domínio de \(h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\).
- Se \(p,q\ge0\) e \(p\cdot q=0\), prove que \(p=0\) ou \(q=0\).
Gabarito (clique para ver)
1) \([0,\infty)\).
2) \(x^2-9\ge0\Rightarrow x\le-3\ \text{ou}\ x\ge3\).
4) Eleve ao quadrado (ambos os lados \(\ge0\)) e use \(2\sqrt{ab}\le a+b\) ⇔ \((\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0\).
5) \(0\le x\le4\).
6) \(0\le x<7\).
7) \(5x+1\ge16\Rightarrow x\ge3\).
8) Definição por casos do módulo, observando \(x\ge0\).
9) Exige \(x-2>0\Rightarrow x>2\) (denominador e radicando positivos).
10) Se \(p,q\ge0\) e \(pq=0\), a não negatividade força um dos fatores a ser 0.
Leituras Relacionadas
- Conjuntos Numéricos
- Números Naturais
- Números Inteiros
- Números Racionais
- Números Irracionais
- Números Reais
- Números Figurados Avançados
Dica: use Ctrl + F para localizar rapidamente termos nesta página.
Resumo e Materiais
- ✔ Definição \(\mathbb{R}_{+0}=[0,\infty)\)
- ✔ Intervalos, módulo e distância
- ✔ Potências, raízes e inequações
- ✔ Exemplos resolvidos e exercícios
